Gewichteter Durchschnitt über mehrere Fächer nach Koeffizienten.
Nur wenige Werkzeuge sind für Schüler allgegenwärtiger als ein Rechner für gewichtete Durchschnitte. Schulen gewichten jedes Fach selten gleich: eine Prüfung in Mathematik mit dem Koeffizienten drei zählt dreimal so viel wie ein Kunstunterricht mit dem Koeffizienten eins für die Semesterwertung, und eine schriftliche Abschlussprüfung des französischen Abiturs mit dem Koeffizienten acht dominiert alles, was ihr vorausging. Die gleiche Arithmetik gilt in Ländern mit Notensystemen: ein vier Credits umfassender Chemie-Kurs an einer US-Universität ist doppelt so stark gewichtet wie ein Wahlfach mit zwei Credits. Einen gewichteten Durchschnitt von Hand zu berechnen ist machbar, aber fehleranfällig – der häufigste Fehler ist das Vergessen, durch das Gesamtgewicht und nicht durch die Anzahl der Fächer zu teilen. Dieser Rechner verarbeitet bis zu fünf Fächer, drei Benotungsskalen (die französische /20, die US-amerikanische /100 Prozentzahl, die /10 in vielen kontinentaleuropäischen Systemen und die /5 in einigen Benotungsskalen) und berechnet den resultierenden gewichteten Durchschnitt zusammen mit einer Statusinterpretation (Ausgezeichnet, Gut, Bestanden, Nicht bestanden), die auf die gewählte Skala kalibriert ist.
Ein gewichteter Durchschnitt ist die Summe aus (Note × Gewichtung) geteilt durch die Summe der Gewichtungen – ausdrücklich nicht die Summe der Noten geteilt durch die Anzahl der Fächer und nicht die Summe aus (Note × Gewichtung) geteilt durch die Anzahl der Fächer. Formal: ḡ = Σ(gᵢ × wᵢ) / Σwᵢ. Die beiden Fallstricke – die Verwendung der Anzahl der Fächer im Nenner oder das Vergessen, den Zähler zu gewichten – sind genau die Arten von Fehlern, die eine Zahl berechnen, die nah genug an der Wahrheit liegt, um richtig auszusehen, aber grundlegend falsch ist. Der Rechner analysiert jede Zeile unabhängig: Er liest die Note und die Gewichtung aus jeder Zeile, verwirft Zeilen mit fehlenden oder ungültigen Gewichtungen (eine leere abschließende Zeile wird also stillschweigend ignoriert), akkumuliert die beiden Summen, teilt und meldet den Durchschnitt zusammen mit der Anzahl der tatsächlich berücksichtigten Fächer und dem Gesamtgewicht. Die Statusbänder werden relativ zur Skala berechnet: „Bestanden“ bedeutet am oder über dem halben Maximum (10/20, 50/100, 5/10, 2,5/5), „Gut“ bedeutet am oder über dem 60 % des Weges vom Bestehen bis zum Maximum und „Ausgezeichnet“ bedeutet am oder über dem 80 % des Weges vom Bestehen bis zum Maximum.
Wählen Sie oben im Formular die Benotungsskala aus. Die Standardwerte entsprechen dem französischen /20-System, bei dem eine bestandene Note 10/20 ist. Jede Zeile enthält in der linken Spalte eine Note und in der rechten Spalte ihr Koeffizient (oder Gewicht). Fünf Zeilen sind vorgesehen; wenn Sie weniger Fächer haben, lassen Sie die restlichen leer – sie werden nicht gezählt. Wenn Sie mehr haben, können Sie durch Zusammenfassen mehrerer kleinerer Fächer zu einer einzigen Zeile mit der Summe ihrer Gewichtungen und einer gewichteten Durchschnittsnote anpassen. Der Rechner aktualisiert das Ergebnis-Panel live, während Sie Werte ändern: Die Überschrift ist der gewichtete Durchschnitt auf zwei Dezimalstellen genau aus der gewählten Skala, neben der Anzahl der beitragenden Zeilen, dem Gesamtgewicht und der Statusbewertung.
Ein französischer Gymnasiast mit vier Kursen und den geladenen Standardwerten: 14 (Koeff. 3), 11 (Koeff. 4), 16 (Koeff. 2), 9 (Koeff. 1). Summe aus (Note × Gewicht) = 14×3 + 11×4 + 16×2 + 9×1 = 42 + 44 + 32 + 9 = 127. Summe der Gewichte = 3 + 4 + 2 + 1 = 10. Gewichteter Durchschnitt = 127 / 10 = 12,7/20, Status „Gut.“ Verglichen mit dem ungewichteten Durchschnitt: (14 + 11 + 16 + 9) / 4 = 50 / 4 = 12,5 – nah dran, aber nicht dasselbe. Die Gewichtung spielt eine größere Rolle, wenn das am höchsten gewichtete Fach ungewöhnlich hoch oder niedrig ist: Derselbe Schüler mit der 11 in Mathematik, auf 17 (Koeff. 4) aufgewertet, ergibt 14×3 + 17×4 + 16×2 + 9×1 = 42 + 68 + 32 + 9 = 151, Durchschnitt = 15,1, Status „Ausgezeichnet.“ Der ungewichtete Durchschnitt hätte sich nur um 1,5 Punkte verschoben. Ein US-Beispiel auf /100: Ein Schüler mit 88 (4 Credits), 92 (3 Credits), 76 (3 Credits), 95 (2 Credits): (88×4 + 92×3 + 76×3 + 95×2) / 12 = (352 + 276 + 228 + 190) / 12 = 1046 / 12 ≈ 87,2 – „Gut.“
Erstens, Division durch die Anzahl der Fächer anstelle der Summe der Gewichtungen. Dies ergibt eine Zahl, die für ungewichtete Durchschnitte „irgendwie richtig“ ist, für gewichtete aber immer falsch. Zweitens, die Gewichtungen als Prozentsätze zu behandeln, die sich zu 100 summieren müssen. Das tun sie nicht – Koeffizienten können jede positive Zahl sein; nur die Verhältnisse zählen. Koeffizienten von 3, 4, 2, 1 sind äquivalent zu Koeffizienten von 30, 40, 20, 10 oder 0,3, 0,4, 0,2, 0,1; die einzige Anforderung des Rechners ist, dass die Gewichtungen positiv sind. Drittens, die Anwendung eines einzelnen Koeffizienten, wenn Fächer mehrere Komponenten haben. Eine französische „épreuve de spécialité“ mit einem schriftlichen Teil (Koeff. 8) und einem mündlichen Teil (Koeff. 8) sind eigentlich zwei separate Zeilen, nicht eine Zeile mit dem Koeffizienten 16 und dem Durchschnitt der beiden Noten – die Mathematik ergibt nur dann das gleiche Ergebnis, wenn die beiden Komponenten-Gewichtungen gleich sind, was hier der Spezialfall ist. Viertens, das Mischen von Skalen. Ein 14/20 und ein 90/100 sind nicht direkt durchschnittlich; wandeln Sie einen in den anderen um (14/20 = 70/100), bevor Sie sie eingeben. Fünftens, das Ignorieren von Notengrenzen. Die Statusbänder sind konventionelle Annäherungen, nicht die offiziellen für eine bestimmte Prüfung – für das französische Abitur liegen die offiziellen Erwähnungsschwellen bei 12 (assez bien), 14 (bien), 16 (très bien), passen Sie Ihre Interpretation also entsprechend an.
Gewichtete Durchschnitte tauchen weit über Schularbeiten hinaus auf. Balkenwaage in der Physik ist ein gewichteter Durchschnitt von Positionen, gewichtet nach Masse – der Schwerpunkt. Portfolio-Rendite in der Finanzwelt ist ein gewichteter Durchschnitt von Anlage-Renditen, gewichtet nach den investierten Dollars für jede. Zusammengesetzte Indizes wie der Verbraucherpreisindex sind gewichtete Durchschnitte von Komponenten-Preisänderungen, gewichtet nach Ausgabenanteilen der Haushalte. Die Arithmetik ist identisch: Zähler ist die Summe von (Wert × Gewicht), Nenner ist die Summe der Gewichtungen. Geometrischer gewichteter Durchschnitt tauscht Summe und Produkt in der Formel aus, nützlich für die Durchschnittsberechnung multiplikativer Größen wie Wachstumsraten über die Zeit. Harmonischer gewichteter Durchschnitt verwendet den Kehrwert-Trick, nützlich für die Durchschnittsberechnung von Geschwindigkeiten bei gleich langen Etappen. All diese verallgemeinern den einfachen arithmetischen gewichteten Durchschnitt, den Schüler jeden Semester berechnen, aber die einfache Version ist bei weitem die gebräuchlichste, und die, die dieser Rechner implementiert.