Curvas exponenciales y logísticas con capacidad de carga, tiempo de duplicación, inflexión.
La dinámica de poblaciones rige todo, desde la epidemiología (R₀ de una enfermedad infecciosa, umbrales de vacunación) hasta la ecología (capacidad de carga de un hábitat, puntos de inflexión en pesquerías), pasando por la demografía (proyecciones de población mundial de la ONU hasta 2100) y la microbiología (cultivos bacterianos en un matraz, curvas de letalidad de antibióticos). El núcleo matemático es la ecuación diferencial dN/dt = r · N (crecimiento exponencial) o, cuando los límites de los recursos importan, dN/dt = r · N · (1 − N/K) (crecimiento logístico). Ambas tienen soluciones de forma cerrada y producen curvas cualitativamente diferentes: la exponencial escala indefinidamente, la logística se satura en la capacidad de carga K. Comprender qué modelo se aplica —y dónde se sitúa un sistema en la curva— es fundamental para la previsión y la política. Esta calculadora calcula ambas una al lado de la otra para que el usuario pueda comparar las trayectorias no restringidas frente a las limitadas y ver el punto de inflexión donde el modelo logístico diverge del exponencial.
Exponencial: N(t) = N₀ · e^(r · t), donde r es la tasa de crecimiento per cápita por unidad de tiempo.
El tiempo de duplicación es T_d = ln(2) / r ≈ 0.693 / r. Una tasa de crecimiento de 0.05/año da un tiempo de duplicación de 13.86 años.
Logístico (Verhulst 1838): N(t) = K / (1 + ((K − N₀) / N₀) · e^(−r · t)), donde K es la capacidad de carga.
La curva logística tiene un punto de inflexión en N = K/2, donde la tasa de crecimiento es máxima. El tiempo hasta la inflexión es t_inflection = ln((K − N₀)/N₀) / r.
Para N₀ → 0, ambos modelos coinciden en la fase temprana; la logística diverge por debajo de la exponencial a medida que N se acerca a K.
La calculadora representa ambas curvas con 100 puntos de muestra, marca el punto de inflexión en la curva logística y muestra una línea discontinua horizontal en K. El eje Y se escala automáticamente para ajustarse a min(5 × max_logístico, K) de modo que la explosión exponencial no oculte el detalle logístico.
Introduzca la población inicial N₀, la tasa de crecimiento r (por unidad de tiempo elegida; típicamente 0.01–0.5 al año para poblaciones animales, 0.5–3 por hora para bacterias), el tiempo transcurrido t, la capacidad de carga K (desactívela si solo desea la exponencial) y la unidad de tiempo (años o días). El panel de resultados muestra N(t) para ambos modelos, el tiempo de duplicación y el tiempo hasta la inflexión.
Un cultivo bacteriano comienza con N₀ = 10⁶ células/mL. Tasa de crecimiento r = 0.69/h (E. coli en medio rico, duplicándose cada hora).
Exponencial a t = 6 h: - N(6) = 10⁶ × e^(0.69 × 6) = 10⁶ × e^4.14 = 10⁶ × 62.8 = 6.28 × 10⁷ células/mL. - Tiempo de duplicación: ln(2)/0.69 ≈ 1 h ✓.
Logístico con K = 10⁹ células/mL (saturación típica en cultivo por lotes): - N(6) = 10⁹ / (1 + ((10⁹ − 10⁶)/10⁶) × e^(−0.69 × 6)) - = 10⁹ / (1 + 999 × e^(−4.14)) - = 10⁹ / (1 + 999 × 0.0159) - = 10⁹ / 16.89 = 5.92 × 10⁷ células/mL — ligeramente por debajo de la exponencial sin restricciones (todavía en fase de crecimiento temprano).
A t = 12 h, la logística se estabiliza alrededor de 4.7 × 10⁸ (cerca de K/2, cerca de la inflexión); la exponencial supera los 4 × 10⁹ — físicamente imposible con recursos finitos.
Una población de vida silvestre de 50 ciervos en un hábitat con K = 500, r = 0.2/año: - Tiempo de inflexión = ln(450/50) / 0.2 = ln 9 / 0.2 ≈ 11 años. - Después de 30 años: N_log = 500 / (1 + 9 × e^(−6)) ≈ 488 (muy cerca de la capacidad de carga). - Exponencial N_exp = 50 × e^6 ≈ 20 200 (imposible).
La exponencial es una aproximación de vanguardia. Los sistemas reales eventualmente encuentran límites de recursos, depredación, enfermedades, densidad social, etc. Usar la exponencial más allá de la fase temprana resulta en sobreestimaciones salvajes.
Elegir K es la parte difícil. La capacidad de carga rara vez se conoce con precisión y puede cambiar con las condiciones ambientales, el clima o la tecnología. Las proyecciones demográficas a menudo citan rangos de K con una amplia incertidumbre.
Una r constante rara vez es realista. Las tasas de crecimiento reales fluctúan estacionalmente, con la disponibilidad de recursos, con retroalimentaciones dependientes de la densidad. La suposición de r constante es un suavizado.
Los efectos estocásticos importan en N pequeña. Con N₀ = 10 individuos, la estocasticidad demográfica (nacimientos/muertes aleatorios) puede llevar a la población a cero incluso con una r determinista positiva. Las curvas deterministas son trayectorias medias de la población, no predicciones de una sola realización.
Efecto Allee. Algunas poblaciones tienen una densidad mínima viable por debajo de la cual el crecimiento se vuelve negativo. La logística simple no captura esto; las poblaciones pequeñas y aisladas pueden colapsar en lugar de crecer.
Crecimiento negativo (declive). r < 0 convierte la exponencial en decaimiento; la logística con K > 0 todavía tiende asintóticamente a K (que ahora es un atractor desde arriba). Cambiar la interpretación del modelo puede confundir — lea la dirección de la curva.
Consistencia de unidades. r y t deben usar la misma unidad de tiempo. La r bacteriana suele ser por hora, la r demográfica por año — órdenes de magnitud de diferencia.
Tiempo continuo vs. discreto. Las soluciones de forma cerrada asumen tiempo continuo. Para poblaciones que se reproducen en estaciones fijas (plantas anuales, corridas de salmón), los modelos de tiempo discreto como el mapa de Beverton–Holt o Ricker son más apropiados.
Regulación paramétrica vs. dependiente de la densidad. La logística asume que la regulación depende puramente de la densidad (competencia intraespecífica). La regulación real a menudo combina la dinámica depredador-presa, parásito-huésped y pulsos de recursos; los modelos multiespecie dan dinámicas más ricas.
Inflexión vs. saturación. La inflexión es donde la tasa de crecimiento es máxima, no donde la curva se aplana. La saturación (95 % de K) es mucho más tarde — aproximadamente 4.4/r unidades de tiempo después de la inflexión.