Puntuación Z, percentil y valor p para un valor en una distribución normal.
Z = (x − μ) / σ. Probabilidades calculadas a partir de la CDF normal estándar (aproximación de Abramowitz & Stegun erf, precisa hasta 10⁻⁷). Valor p de dos colas = 2 · min(P por debajo, P por encima) — relevante para pruebas de hipótesis simétricas.
La puntuación z es la estandarización más utilizada en estadística: transforma una observación en un número de desviaciones estándar respecto a la media de la población, permitiendo la comparación directa entre distribuciones con diferentes unidades. Una nota de 78 en una clase y 85 en otra no son comparables hasta que se conoce la media y la dispersión de la clase; sus puntuaciones z sí lo son. Una puntuación z también se conecta directamente con la distribución normal estándar: el 95 % de las observaciones caen dentro de ±1,96 σ; ±3 σ marca la regla del 99,7 %. El control de calidad Six Sigma, las puntuaciones de CI, las tablas de crecimiento (altura/peso pediátrico), las pruebas psicométricas y la mayoría de las pruebas A/B se basan en la aritmética de la puntuación z. Esta calculadora calcula la puntuación z a partir de x, μ y σ, además del percentil, las probabilidades de una cola y el valor p de dos colas, con una visualización de la curva normal que sombrea el área por debajo de la observación.
Puntuación Z: z = (x − μ) / σ.
x es la observación, μ la media, σ la desviación estándar (debe ser > 0). z es adimensional.
Función de distribución acumulada (CDF) de la normal estándar Φ(z): probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar sea ≤ z. Calculada mediante la aproximación erf (Abramowitz & Stegun): erf(x) = 1 − (a₁t + a₂t² + a₃t³ + a₄t⁴ + a₅t⁵) e^(−x²), donde t = 1 / (1 + p·x), con constantes p = 0,3275911 y aᵢ según lo dado. Φ(z) = ½(1 + erf(z / √2)). Precisión hasta 1,5 × 10⁻⁷.
Salidas: - z: valor estandarizado. - Percentil: Φ(z) × 100, el porcentaje de la población con valores ≤ x. - P(X ≤ x): lo mismo que el percentil / 100. - P(X > x): 1 − Φ(z). - Valor p de dos colas: 2 × min(Φ(z), 1 − Φ(z)) — la probabilidad de observar |z| o mayor por casualidad, útil para pruebas de hipótesis.
Bandas de interpretación: |z| < 0,5 muy típico; 0,5–1 típico; 1–2 notable; 2–3 inusual; > 3 extremo.
Introduzca la observación x, la media de la población μ y la desviación estándar σ. El panel de resultados muestra z (encabezado), percentil, valor p de dos colas, ambas probabilidades de una cola y una interpretación verbal. El gráfico dibuja la curva normal estándar, sombrea el área por debajo de z y marca la posición de z con una línea vertical.
Puntuación CI 120, μ = 100, σ = 15 (escala CI estándar).
Nota de examen 78, μ = 70, σ = 10.
Valor atípico: 245, μ = 100, σ = 25.
Supuesto de normalidad. El percentil y el valor p requieren que la distribución subyacente sea normal. Para datos no normales (sesgados, de colas pesadas, multimodales), las puntuaciones z aún son calculables pero su interpretación probabilística se rompe. La renta real, los tiempos de respuesta web y los rendimientos de acciones no son normales; la puntuación z para "el percentil 99 de los rendimientos" puede ser mucho menor que el +2,33 que predice el modelo normal.
σ de población frente a σ de muestra. La fórmula utiliza la σ de la población. Si tiene una muestra y utilizó la desviación estándar muestral s, en realidad está calculando una estadística t (distribución t de Student), no una z. Para muestras grandes (n > 30) las dos son casi idénticas; para muestras pequeñas, utilice tablas t explícitamente.
Sensibilidad a valores atípicos. Tanto μ como σ son sensibles a los valores atípicos: un único valor extremo puede arrastrar μ e inflar σ, distorsionando todas las puntuaciones z. Las alternativas robustas (mediana, MAD) se ven menos afectadas.
Límites de aproximación. La aproximación erf en la calculadora es precisa hasta 10⁻⁷; para probabilidades de cola profunda (z > 6), utilice bibliotecas especializadas (mpmath, scipy.stats.norm).
Valor p de dos colas frente a una cola. De dos colas: P(|Z| ≥ |z|), utilizado cuando la hipótesis alternativa es "diferente de μ". De una cola: P(Z ≥ z) o P(Z ≤ z), utilizado cuando la alternativa es "mayor que μ" o "menor que μ" específicamente. La calculadora muestra ambas; elija la que coincida con su hipótesis.
Múltiples pruebas. Si calcula puntuaciones z en 100 observaciones y pregunta "¿hay alguna con |z| > 2?", esperaría ~5 por pura casualidad incluso bajo la nula. Se necesita corrección de Bonferroni o FDR para comparaciones múltiples.
La estandarización no es una transformación a normal. La puntuación z de una variable no normal no la hace normal; solo la desplaza y la reescala. La forma se mantiene.
Caso límite σ = 0. Si σ = 0, la calculadora lo rechaza (sin varianza, sin z). Todas las observaciones están en μ.
Valores |z| muy grandes. La precisión doble de JS se desborda para |z| > 38; el percentil se satura en 0 % o 100 %. Las puntuaciones z del mundo real rara vez superan 8.
Intervalos de confianza frente a puntuaciones z. Un IC del 95 % utiliza z = 1,96; un IC del 99 % utiliza z = 2,576. Estos son cuantiles, no observaciones; la calculadora toma observaciones y calcula z, no la inversa.