Escore Z, percentil e valor p para um valor em uma distribuição normal.
Z = (x − μ) / σ. Probabilidades calculadas a partir da CDF normal padrão (aproximação erf de Abramowitz & Stegun, precisa até 10⁻⁷). Valor p bicaudal = 2 · min(P abaixo, P acima) — relevante para testes de hipóteses simétricos.
O z-score é a padronização mais utilizada em estatística: transforma uma observação num número de desvios padrão da média populacional, permitindo uma comparação direta entre distribuições com unidades diferentes. Uma nota de 78 numa disciplina e 85 noutra não são comparáveis até que se conheça a média e a dispersão da disciplina; os seus z-scores são. Um z-score também se conecta diretamente com a distribuição normal padrão: 95% das observações caem dentro de ±1.96 σ; ±3 σ marca a regra dos 99.7%. O controlo de qualidade Six Sigma, os scores de QI, os gráficos de crescimento (altura/peso pediátrico), os testes psicométricos e a maioria dos testes A/B baseiam-se na aritmética do z-score. Este calculador computa o z-score a partir de x, μ e σ, mais o percentil, as probabilidades de uma cauda e o valor-p bicaudal, com uma visualização de curva normal que sombreia a área abaixo da observação.
Z-score: z = (x − μ) / σ.
x é a observação, μ a média, σ o desvio padrão (deve ser > 0). z é adimensional.
Função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão Φ(z): probabilidade de uma variável aleatória normal padrão ser ≤ z. Calculada através da aproximação erf (Abramowitz & Stegun): erf(x) = 1 − (a₁t + a₂t² + a₃t³ + a₄t⁴ + a₅t⁵) e^(−x²), onde t = 1 / (1 + p·x), com constantes p = 0.3275911 e aᵢ conforme dado. Φ(z) = ½(1 + erf(z / √2)). Precisão até 1.5 × 10⁻⁷.
Resultados: - z: valor padronizado. - Percentil: Φ(z) × 100, a percentagem da população com valores ≤ x. - P(X ≤ x): igual a percentil / 100. - P(X > x): 1 − Φ(z). - Valor-p bicaudal: 2 × min(Φ(z), 1 − Φ(z)) — a probabilidade de observar |z| ou maior por acaso, útil para testes de hipóteses.
Bandas de interpretação: |z| < 0.5 muito típico; 0.5–1 típico; 1–2 notável; 2–3 invulgar; > 3 extremo.
Introduza a observação x, a média populacional μ e o desvio padrão σ. O painel de resultados mostra z (em destaque), percentil, valor-p bicaudal, ambas as probabilidades de uma cauda e uma interpretação verbal. O gráfico desenha a curva normal padrão, sombreia a área abaixo de z e marca a posição de z com uma linha vertical.
Nota de QI 120, μ = 100, σ = 15 (escala de QI padrão).
Nota de teste 78, μ = 70, σ = 10.
Outlier: 245, μ = 100, σ = 25.
Pressuposto de normalidade. O percentil e o valor-p requerem que a distribuição subjacente seja normal. Para dados não normais (assimétricos, com caudas pesadas, multimodais), os z-scores ainda são calculáveis, mas a sua interpretação probabilística falha. Rendimentos reais, tempos de resposta web e retornos de ações não são normais — o z-score para "o 99º percentil de retornos" pode ser muito menor do que o +2.33 que o modelo normal prevê.
σ populacional vs. amostral. A fórmula usa o σ da população. Se tiver uma amostra e usou o desvio padrão amostral s, está realmente a calcular uma estatística t (distribuição t de Student), não um z. Para amostras grandes (n > 30), os dois são quase idênticos; para amostras pequenas, use tabelas t explicitamente.
Sensibilidade a outliers. Tanto μ quanto σ são sensíveis a outliers — um único valor extremo pode puxar μ e inflacionar σ, distorcendo todos os z-scores. Alternativas robustas (mediana, MAD) são menos afetadas.
Limites de aproximação. A aproximação erf no calculador é precisa até 10⁻⁷; para probabilidades de cauda profunda (z > 6), use bibliotecas especializadas (mpmath, scipy.stats.norm).
Valor-p bicaudal vs. unilateral. Bicaudal: P(|Z| ≥ |z|), usado quando a hipótese alternativa é "diferente de μ". Unilateral: P(Z ≥ z) ou P(Z ≤ z), usado quando a alternativa é especificamente "maior que μ" ou "menor que μ". O calculador mostra ambos; escolha o que corresponde à sua hipótese.
Testes múltiplos. Se calcular z-scores em 100 observações e perguntar "alguma com |z| > 2?", esperaria cerca de 5 por mero acaso, mesmo sob a hipótese nula. Correção de Bonferroni ou FDR é necessária para comparações múltiplas.
Padronização não é transformação para normal. A z-scoragem de uma variável não normal não a torna normal; apenas a desloca e reescala. A forma permanece.
Caso limite σ = 0. Se σ = 0, o calculador rejeita (sem variância, sem z). Todas as observações estão em μ.
|z| muito grande. A precisão dupla do JS excede o limite para |z| > 38; o percentil satura em 0% ou 100%. Z-scores do mundo real raramente excedem 8.
Intervalos de confiança vs. z-scores. Um IC de 95% usa z = 1.96; um de 99% usa z = 2.576. Estes são quantis, não observações — o calculador pega em observações e calcula z, não o inverso.