投資が年率から2倍になるまでの時間。
72の法則による近似。正確: 年数 = ln(2) / ln(1 + r)。 15% APR以上では72/rから乖離します。
72の法則は、個人金融で最も引用される近道です。すべての貯蓄者が最終的に尋ねる質問に答えます。「年率何％、何年で、お金は2倍になるのか？」 完全な複利方程式（年数 = ln(2) / ln(1 + r)）は正確ですが、記憶するのは困難です。72 / rは、関連するレート（3％〜12％）では十分に正確で、目分量で計算できます。年率6％のリターンは、12年でお金を2倍にします。8％のリターンは9年で2倍にします。4％のリターンは18年かかります。この法則は、人々がわずかなレートの違いがどれだけ複利で増えるかを大幅に過小評価するという、最も一般的な金融直感の失敗の1つをショートカットします。年率7％で運用される退職ポートフォリオは、30年間で4％で運用されるポートフォリオの2.5倍になります。72の法則を使えば、これを3秒で明確にできます。この計算機は、0.1％から30％までの任意のレートで法則を実行し、2倍、3倍、4倍になるまでの時間を表示し、各マイルストーンまでの初期金額を予測して、抽象的な年数を具体的なユーロにマッピングします。
ここでは、2つの計算式が並んでいます。「近道」：2倍になる年数 = 72 / r（rは年率をパーセンテージで表したもの。つまり、6％は0.06ではなく6になります）。「正確な値」：年数 = ln(2) / ln(1 + r/100）。6％のレートの場合、近道は12.0年、正確な値は11.90年です。これは、3〜12％の範囲で1％以内の精度です。15％を超えると、乖離が大きくなります（30％では近道は2.4年、正確な値は2.64年）。そのため、計算機は正確な対数計算を公開し、それを72/rという見出しの下に報告します。「3倍になる年数」= ln(3) / ln(1 + r/100）、同様に「4倍になる年数」= 2 × 2倍になる年数（2倍の2倍は4倍になるため）。計算機は、入力された初期金額に2、3、4を掛けて、マイルストーンの残高を年数とともに表示します。これは、「7％を30年間稼ぐ」ということを、より具体的に感じさせる並列表記です。
2つの入力：年率（スライダーと数値入力、0.1％〜30％）と初期金額（デフォルト€10,000）。結果パネルには、主要な指標として2倍になるまでの時間、並べて3倍と4倍になるまでの時間、および対応する残高の倍率が表示されます。レートを上下にスライドさせて、凸性を感じてください。5％から6％に移動すると2年以上節約できます。12％から13％に移動すると約半年節約できます。この非対称性自体が教訓です。小数点の1％の違いは、高レートよりも低レートでより重要になります。デフォルトの7％と€10,000は、歴史的平均を想定した長期の分散株式ポートフォリオを表します。2倍になるまでの10年強という結果は、ほとんどの退職金プランナーが想定しているものと一致します。
30歳の人が、年平均7％のインデックスファンドに€5,000を拠出します。72の法則を使用：72 / 7 = 10.29年で2倍になります。40歳までに、残高は€10,000に達します。50歳までに、さらに2倍になって€20,000（2回の2倍 = 元本の4倍）になります。60歳までに、さらに3回目の2倍で€40,000になります。70歳までに、4回目の2倍で€80,000になります。法則の出力を同じ数字で計算機に入力：2倍 = 10.3年で€10,000； 3倍 = 16.3年で€15,000（3倍は1.5倍より大きい。ln(3)/ln(1.07) = 16.24に従う）； 4倍 = 20.6年で€20,000。次に、同じ期間で4％のレートを比較します。18年で2倍になるということは、78歳までに拠出者はまだ€40,000しか持っていないということです。これは7％の結果の半分です。3パーセントポイントの違いは大きく感じられませんが、40年の期間では、最終残高が2倍になります。
第一に、名目レートに法則を適用し、その結果を実質（インフレ調整後）成長と見なすこと。インフレ率3％での7％の名目リターンは、実質リターン4％です。購買力で2倍になるまでの時間は10年ではなく18年です。第二に、レートを小数と間違えること。近道は、パーセンテージをそのまま（6％の場合は6）使用し、小数（0.06）は使用しません。72/rに0.06を代入すると1,200年になります。計算機は、入力をパーセンテージとして読み取ることでこれを処理します。第三に、法則が複利を前提としていることを忘れること。6％の単利では、約17年で2倍になります（12年ではありません）。多くの固定利付商品（特に米国）は、名目年間レートを宣伝しますが、これは月複利であり、実効レートをわずかに加速させます。第四に、手数料を無視すること。経費率1.5％の7％の総リターンは、正味リターン5.5％となり、10年ではなく13年で2倍になります。これは、法則が痛いほど明らかにする構造的なコストです。第五に、安定した2倍を期待すること。実際の市場は安定して複利で増えるわけではありません。ある年は30％上昇し、次の年は20％下落します。72の法則は、長期間の幾何平均を表しますが、その経路ではありません。経路は、計算機が描く滑らかな指数関数とは全く異なる、ギザギザしたものです。
72の法則にはいくつかの改良版があります。「70の法則」は、低レート（6％未満）でより正確です。70 / rは、2の自然対数（0.693）により近くなります。「69.3の法則」は正確な定数です。69.3 / rは、連続複利計算式に一致します。「114の法則」は3倍にするための法則です。114 / rは ln(3) × 100 を近似します。「144の法則」は4倍にするための法則です。計算機では72を使用しています。なぜなら、72は最も有用な約数（12個の整数因数）を持ち、文化的な標準であるからです。「逆引き」：保有期間がわかっている場合、72を年数で割ると、必要なレートがわかります。「6年でお金を2倍にする必要がある」→ 72 / 6 = 年率12％が必要です。「実質レート使用」：法則を適用する前に名目レートからインフレ率を差し引くと、購買力での2倍になるまでの時間がわかります。「インフレの文脈」：年率5％のインフレでは、72の法則によると物価は14年で2倍になります。これが中央銀行が2％を目標とする理由です。2％の場合、2倍になるまでの時間は36年に伸び、無視できるほど遅く感じられます。