複利計算

なぜこの計算をするのか

複利は、少額の定期貯蓄を長年にわたって意味のある金額に変える原動力です。アルバート・アインシュタインは、それを「世界の八番目の不思議」と呼んだと広く（おそらく誤って）言われています。彼または誰かが明確に意図したのは、複利が人間の直感が一貫して過小評価する効果を生み出すということです。退職、子供の教育、将来の頭金、または単に銀行預金が10年後にいくらになるかを知ろうとしている人は、この計算が必要です。また、学生ローンの、クレジットカードの借金、債券価格設定の根幹でもあり、逆方向に動いています。あなたの貯蓄を7%の利率で増やすのと同じ式が、22%のクレジットカードの残高も増やします。ほとんどの人が結果を誤解する理由は、直線的な曲線で予想するのに対し、現実は指数関数的であることです。口座残高は最初の数年間はゆっくりと増加し、その後突然加速します。ここでは、開始額、毎月の拠出額、利率、期間の任意の組み合わせに対する正確な軌跡を確認できます。

式

定期的な拠出を伴う複利成長は、2つの式を組み合わせています。当初元本 P が年率 r で n 年間、追加の預け入れなしで成長する場合、将来価値は次のようになります。

FV = P × (1 + r)ⁿ

さらに、各期間（最も一般的には各年、または各月）の終わりに固定額 C を拠出する場合、その拠出金の将来価値は次のようになります。

FVₐ = C × ((1 + r)ⁿ − 1) / r

総将来価値は、FV + FVₐ の合計です。月次複利と月次拠出の場合、r を 12 で割り、指数として 12*n を使用します。拠出された総額は P + C × n（月次の場合は P + C × 12n）であり、得られた総利息は FV + FVₐ と総拠出額との差です。

使用方法

4つの入力があります：初期預金額（開始資本）、毎月の拠出額（純粋な元本成長のみを希望する場合はゼロに設定）、年利（名目利率。株式の場合、長期的な米国株式の仮定は実質7%または名目約10%）、年数（期間）。結果パネルには、最終残高、拠出総額（結果のどれだけがあなたの資金から来たのか、利息から来たのかがわかるように）、および得られた総利息が表示されます。

計算例

今日、$5,000を預け入れ、年利7%、月次複利で毎月$300を追加するとします。30年間で、(1 + r/12)¹²ⁿ の項は約8.116になります。当初の$5,000は約$40,580に成長します。毎月$300 × 360ヶ月 = $108,000 の拠出ストリームは、複利のおかげで約$367,000に成長します。最終残高は約$407,500になります。そのうち、あなたが拠出したのは$113,000（$5,000 + $108,000）です。残りの$294,500、つまりあなたが投じた金額の約2.6倍は、純粋な利息です。期間を30年から40年に延長すると、最終残高は約$796,000に跳ね上がり、2倍以上になります。これは、追加で拠出したのがわずか$36,000であるにもかかわらずです。その10年間の延長がこれほど重要である理由は、複利がすでに構築された全残高に作用するためです。

一般的な落とし穴

第一に、名目リターンと実質リターンの混同。3%のインフレ率での7%の名目株式リターンは、実質リターン約4%です。インフレを無視すると、将来の購買力を大幅に過大評価することになります。第二に、手数料の無視。年率1%の手数料を30年間複利計算すると、最終残高が25%以上減少する可能性があります。つまり、わずか1%ポイントです。第三に、税金の忘却。課税口座での利息は毎年課税されます。Roth IRAや401(k)では課税されません。式が示す「成長」は、ほとんどの場合、税引き前です。第四に、平均リターンを保証されたものとして扱うこと。株式市場のリターンは数十年にわたる平均値であり、どの年でも壊滅的（-30%）から熱狂的（+30%）まで変動します。第五に、最も高価な落とし穴：逆側の複利。22%のAPRで$5,000のクレジットカード残高を抱え、最低額のみを支払うことは、同じ式があなたに不利に働き、放置すれば約3年半で借金が倍増します。

バリエーションと文脈

複利の式には、いくつかの重要な関連があります。72の法則は、概算の近道です：倍になる年数 ≈ 72 / 利率（パーセント）。7%では、お金は約10.3年で倍になります。10%では、約7.2年で倍になります。連続複利（期間が無限に小さくなる極限）は、(1 + r/n)ⁿ を eʳᵗ（e はネイピア数）で置き換えます。これは一部の債券や数理モデルに関連しますが、小売貯蓄にはあまり関係ありません。インフレ調整済み複利は、式を適用する前にインフレ率を差し引いて、今日のドルで計算します。幾何平均収益率 vs. 算術平均収益率：50%増加してから50%減少したポートフォリオは、平坦にはなりません（開始時の75%で終了します）。なぜなら、複利は乗算だからです。これが、単一の悪い年が同程度の単一の良い年よりも重要である理由です。複利は、より一般的に貨幣の時間価値の数学的基礎でもあります。今日の一ドルは、明日のものよりも価値があります。なぜなら、今日の一ドルは利息を稼ぐことができるからです。