Crecimiento a largo plazo de ahorros recurrentes.
El interés compuesto es el motor que convierte ahorros pequeños y regulares en una suma significativa a lo largo de años y décadas. Se atribuye popularmente a Albert Einstein (probablemente de forma errónea) haberlo llamado la octava maravilla del mundo; lo que él o alguien más quiso decir claramente es que la capitalización produce efectos que la intuición humana subestima constantemente. Cualquiera que planee para la jubilación, la educación de un hijo, un pago inicial futuro o simplemente intente comprender cuánto valdrá un depósito bancario en diez años necesita este cálculo. También está en el núcleo de los préstamos estudiantiles, la deuda de tarjetas de crédito y la fijación de precios de bonos, pero en la dirección opuesta: la misma fórmula que hace crecer sus ahorros a una tasa del 7 % también hace crecer el saldo de una tarjeta de crédito del 22 %. La razón por la que la mayoría de la gente juzga mal el resultado es que esperan una curva lineal y la realidad es exponencial: el saldo de la cuenta crece lentamente durante los primeros años y luego se acelera repentinamente. El cálculo aquí le permite ver la trayectoria exacta para cualquier combinación de monto inicial, contribución mensual, tasa y horizonte.
El crecimiento compuesto con contribuciones regulares combina dos fórmulas. Para un capital inicial P que crece a una tasa anual r durante n años, sin depósitos adicionales, el valor futuro es:
FV = P × (1 + r)ⁿ
Si además contribuye con una cantidad fija C al final de cada período (lo más común es cada año, pero también cada mes), el valor futuro de esas contribuciones es:
FVₐ = C × ((1 + r)ⁿ − 1) / r
El valor futuro total es la suma FV + FVₐ. Para capitalización mensual y contribuciones mensuales, divida r por 12 y use 12n como exponente. Los depósitos totales realizados son P + C × n (o P + C × 12n para mensual), y el interés total ganado es la diferencia entre FV + FVₐ y los depósitos totales.
Cuatro entradas: Depósito inicial (el capital inicial), Contribución mensual (establecer en cero si desea crecimiento puro del capital), Tasa de interés anual (la tasa nominal; para acciones, una suposición a largo plazo de acciones de EE. UU. es del 7 % real o aproximadamente el 10 % nominal) y Años (el horizonte temporal). El panel de resultados devuelve el saldo final, el total depositado (para que pueda ver cuánto del resultado provino de su dinero frente al interés) y el interés total ganado.
Deposita 5.000 $ hoy y agrega 300 $ cada mes en una cuenta que rinde el 7 % anual, capitalizado mensualmente. Durante 30 años, el término (1 + r/12)¹²ⁿ resulta en aproximadamente 8.116. Los 5.000 $ iniciales crecen a aproximadamente 40.580 $. La corriente de contribución de 300 $ × 360 meses = 108.000 $ crece a aproximadamente 367.000 $ gracias a la capitalización. El saldo final es de aproximadamente 407.500 $. De ese total, usted contribuyó 113.000 $ (5.000 $ + 108.000 $); los 294.500 $ restantes, aproximadamente 2.6 veces lo que usted puso, es interés puro. Aumente el horizonte a 40 años en lugar de 30 y el saldo final salta a aproximadamente 796.000 $, más del doble, a pesar de contribuir solo 36.000 $ más. Esa extensión de diez años importa tanto porque la capitalización opera sobre el saldo total que ya ha acumulado.
Primero, confundir rendimientos nominales y reales. Un rendimiento nominal de acciones del 7 % con una inflación del 3 % es un rendimiento real de aproximadamente el 4 %; ignorar la inflación significará que sobreestimará gravemente su poder adquisitivo futuro. Segundo, ignorar las comisiones. Una comisión anual del 1 % capitalizada durante 30 años puede reducir un saldo final en un 25 % o más, sí, solo un punto porcentual. Tercero, olvidar los impuestos. Los intereses en una cuenta gravable se gravan cada año; en una IRA Roth o 401(k), no. El "crecimiento" que muestra la fórmula es antes de impuestos en la mayoría de los casos. Cuarto, tratar un rendimiento promedio como garantizado. Los rendimientos del mercado de valores son un promedio durante décadas; en cualquier año dado varían de desastrosos (-30 %) a exuberantes (+30 %). Quinto, la trampa más cara de todas: la capitalización del lado equivocado. Mantener un saldo de tarjeta de crédito de 5.000 $ con un TAE del 22 % y pagar solo el mínimo es la misma fórmula trabajando en su contra, duplicando su deuda en aproximadamente tres años y medio si no se toca.
La fórmula del interés compuesto tiene algunos parientes importantes. La regla del 72 es un atajo rápido: años para duplicar ≈ 72 / tasa (en por ciento). Al 7 %, su dinero se duplica aproximadamente cada 10.3 años; al 10 %, cada 7.2 años. La capitalización continua (el límite a medida que el período se vuelve infinitamente pequeño) reemplaza (1 + r/n)ⁿ con eʳᵗ, donde e es el número de Euler, relevante para algunos bonos y modelos matemáticos, menos para ahorros minoristas. La capitalización ajustada a la inflación resta la tasa de inflación antes de aplicar la fórmula, para razonar en dólares de hoy. Rendimientos geométricos vs. aritméticos: una cartera que gana un 50 % y luego pierde un 50 % no termina plana (termina al 75 % de donde comenzó), porque la capitalización es multiplicativa. Es por eso que un solo año malo importa más que un solo año bueno de igual magnitud. La capitalización es también la base matemática del valor del dinero en el tiempo en general: cada dólar hoy vale más que un dólar mañana porque el dólar de hoy puede generar intereses.
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