Zwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, mit Vereinfachung.
Addition/Subtraktion verwendet gemeinsamen Nenner (A·d B + B·d A) / (d A · d B), dann Kürzung durch den ggT. Multiplikation: Zähler × Zähler, Nenner × Nenner. Division: Multiplikation mit dem Kehrwert.
Brüche sind das Tor von der Arithmetik zur Algebra und die Operation, die man nach der Schule am schnellsten vergisst. Die Skalierung von Rezepten, Holzmessungen, das Aufteilen von Rechnungen, elektronische Widerstandskombinationen und technische Toleranzen erfordern alle Bruchrechnung. Die vier Grundoperationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division – haben jeweils ein anderes Verfahren (gemeinsamer Nenner vs. direktes Multiplizieren vs. Kehrwert), und das Vergessen, welches davon zu vorhersehbaren Fehlern führt. Ein Rechner, der die Buchführung übernimmt (kgV finden, multiplizieren, durch ggT kürzen) und das Ergebnis in drei Formen anzeigt (unechter Bruch, gemischte Zahl, Dezimalzahl, Prozent), lässt Sie sich auf die Bedeutung statt auf die Mechanik konzentrieren.
Für zwei Brüche a/b und c/d:
Nachdem der rohe Zähler und Nenner berechnet wurden, wird der Bruch durch ihren ggT (Euklidischer Algorithmus) gekürzt. Er behandelt auch negative Nenner, indem er die Vorzeichen umkehrt, um die kanonische Form (positiver Nenner) beizubehalten.
Das Ergebnis wird auf vier Arten angezeigt: - Gekürzter Bruch: 5/6, 2/3, usw. - Dezimalzahl: 0,6667, 1,25, usw. - Prozent: 66,67 %, 125 %, usw. - Gemischte Zahl: Ganze Zahl + echter Bruch (z. B. 11/4 → 2 ¾).
Füllen Sie die vier Zahlen aus – Zähler A, Nenner A, Zähler B, Nenner B – und wählen Sie die Operation: +, −, ×, ÷. Negative Zähler werden akzeptiert (und propagieren sich durch die Operationen). Ein Nenner von Null wird abgelehnt; ein Zähler von Null ist in Ordnung (ergibt 0). Die Ergebnisspalte zeigt alle vier Darstellungen gleichzeitig an.
1/2 + 1/3: - Gemeinsamer Nenner: 2 × 3 = 6. - Summe: 1·3 + 1·2 = 5. Nenner: 6. Rohes Ergebnis: 5/6. - ggT(5, 6) = 1, bereits gekürzt. - Dezimalzahl: 0,8333. Prozent: 83,33 %. Gemischt: 5/6 (echt, kein ganzer Teil).
3/4 × 2/5: - Zähler: 3 × 2 = 6. Nenner: 4 × 5 = 20. Roh: 6/20. - ggT(6, 20) = 2. Gekürzt: 3/10. - Dezimalzahl: 0,3. Prozent: 30 %.
5/6 − 1/4: - Gemeinsamer Nenner: 24. Zähler: 5·4 − 1·6 = 14. Roh: 14/24. - ggT = 2. Gekürzt: 7/12. - Dezimalzahl: 0,5833.
Eingabe gemischter Zahlen nicht unterstützt. Der Rechner akzeptiert nur echte oder unechte Brüche (Zähler/Nenner). Für eine gemischte Zahl wie 1 ¾ wandeln Sie sie zuerst um: ganze Zahl × Nenner + Zähler = 1 × 4 + 3 = 7, also 1 ¾ = 7/4.
Eingabe von Dezimalzahlen. Der Rechner akzeptiert ganze Zahlen als Zähler und Nenner. Wenn Sie eine Dezimalzahl eingeben, wird sie vom Eingabeparser zu einer ganzen Zahl gekürzt – wandeln Sie Ihre Dezimalzahl zuerst in einen Bruch um (0,25 = 1/4, 0,333 ≈ 1/3, wenn Sie exakt sein möchten).
Negativer Nenner. Intern normalisiert der Rechner auf einen positiven Nenner (a/(−b) → −a/b). Die Zeile „Roh“ der Ausgabe zeigt die ungekürzte Form an, damit Sie die Arithmetik überprüfen können; die Zeile „Gekürzt“ ist die kanonische Darstellung.
Division durch Null. Wenn Nenner B Null ist (oder Null während der Berechnung bei Division auftritt, wenn Zähler B = 0), gibt der Rechner „–“ zurück. Überprüfen Sie immer, ob die Nenner ungleich Null sind.
ggT mit negativen Zahlen. Der Euklidische Algorithmus verwendet hier Absolutwerte für den ggT; das Vorzeichen des Ergebnisses wird durch Normalisierung beibehalten (negativer Zähler, positiver Nenner).
Interpretation unechter Brüche. Ein Ergebnis wie 7/4 ist „unecht“, aber mathematisch gültig. Einige Lehrpläne (Grundschule USA) verlangen die Darstellung als gemischte Zahl; Ingenieurwesen und höhere Mathematik bevorzugen unechte Brüche. Der Rechner zeigt beide an.
Dezimale Genauigkeit. Die Dezimaldarstellung zeigt bis zu ~10 signifikante Stellen über die JS-Zahlenformatierung an. Für exakte Arithmetik mit großen Zählern/Nennern ist der gekürzte Bruch die kanonische Form – die Dezimalzahl kann eine periodische, nicht-abbrechende Expansion sein.
Prozentuale Interpretation. Prozent = Dezimalzahl × 100 – nützlich, um Brüche in „Anteil eines Ganzen“ umzuwandeln, aber nicht anwendbar, wenn ein Bruch ein Verhältnis darstellt (z. B. sollte ein Seitenverhältnis von 16:9 nicht als 178 % ausgedrückt werden).
Operatorrangfolge. Der Rechner behandelt nur eine Operation gleichzeitig. Für mehrstufige Ausdrücke wie 1/2 + 1/3 × 1/4 folgen Sie der PEMDAS-Regel: zuerst die Multiplikation (1/3 × 1/4 = 1/12), dann addieren (1/2 + 1/12 = 7/12). Oder verwenden Sie eine Kette von zwei Rechneroperationen.
fractions.Fraction, JavaScript's BigRat-Bibliotheken und Mathematica's Rational[] behalten exakte Arithmetik ohne Gleitkommadrift bei – nützlich, wenn viele Operationen für ein exaktes Endergebnis verkettet werden.