Berechne Winkel, Fläche, Höhen und Radien eines Dreiecks aus seinen drei Seiten.
Geben Sie die drei Seitenlängen ein. Die Berechnung wendet den Kosinussatz und die Heron-Formel an.
Kosinussatz: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), wiederholt für B und C. Heron-Formel: Fläche = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)) mit s = (a+b+c)/2. Die Dreiecksungleichung verlangt, dass jede Seite kleiner als die Summe der beiden anderen ist.
Das Dreieck ist das einfachste ebene Polygon und der Baustein der Trigonometrie, Vermessung, Navigation und Computergrafik. Das Lösen eines Dreiecks – das Finden aller sechs Elemente (drei Seiten, drei Winkel) aus der verfügbaren Teilmenge – ist die kanonische Übung in der klassischen Geometrie. Der häufigste Fall ist SSS (drei Seiten gegeben): Aus den drei Seitenlängen ergeben sich nach dem Kosinussatz alle drei Winkel, die Heron-Formel liefert die Fläche und die Elementargeometrie die Höhen, den Umfang, den Inradius und den Umkreisradius. Dieser Rechner implementiert die SSS-Lösung plus Diagnostik – Klassifizierung des Typs (rechtwinklig/spitzwinklig/stumpfwinklig, gleichseitig/gleichschenklig/ungleichseitig) – und eine maßstabsgetreue visuelle Darstellung.
Gegebene Seiten a, b, c (müssen die Dreiecksungleichung erfüllen: jede Seite ist strikt kleiner als die Summe der beiden anderen; wenn nicht, existiert kein Dreieck):
Geben Sie die drei Seitenlängen a, b, c ein. Beliebige positive Zahlen sind zulässig; die Einheiten sind nicht spezifiziert (cm, m, Zoll, egal – die Fläche ergibt sich in der quadrierten Einheit). Der Rechner validiert zuerst die Dreiecksungleichung; wenn sie verletzt ist, gibt er "–" und eine einzeilige Notiz zurück. Andernfalls gibt er alle sechs Elemente (drei Winkel in Grad, drei Seiten wie eingegeben), Fläche, Umfang, drei Höhen, Inradius, Umkreisradius und eine Typklassifizierung aus, plus eine maßstabsgetreue SVG-Grafik mit Eckpunktbeschriftungen und Winkelanmerkungen.
Rechtwinkliges Dreieck 3-4-5 (der klassische pythagoreische Tripel).
Gleichseitiges Dreieck 6-6-6: Winkel alle 60°, Fläche = (√3/4)·6² ≈ 15,59, Umfang 18, Höhen alle (√3/2)·6 ≈ 5,196, Inradius √3 ≈ 1,732, Umkreisradius 2√3 ≈ 3,464.
Gleitkommapräzision nahe degenerierter Dreiecke. Ein Dreieck mit den Seiten 1, 1, 1,999999 ist kaum noch gültig; der Kosinussatz liefert einen Winkel sehr nahe bei 180°, und kleine Eingabefehler lassen die berechneten Winkel explodieren. Der Rechner behandelt die strikte Ungleichheit (≤ wird abgelehnt), warnt aber nicht vor fast degenerierten Fällen.
Prüfung der Dreiecksungleichung ist strikt. Seiten 3, 4, 7 schlagen fehl (3 + 4 = 7, Gleichheit); der Rechner lehnt ab. Ein "degeneriertes Dreieck" (kollineare Punkte) hat eine Fläche von 0 und ist geometrisch kein Dreieck.
Gleitkommapräzision bei der Erkennung von rechten Winkeln. Der Rechner erkennt rechte Winkel, wenn |Winkel − 90°| < 0,01°. Ein echtes rechtwinkliges Dreieck, eingegeben mit gerundeten Seiten (z. B. 7-7-9,9 statt 7-7-9,899...), wird nicht als rechtwinklig klassifiziert; die Typenbezeichnung fällt dann gnädig auf spitzwinklig/stumpfwinklig zurück.
Keine Unterstützung für SAS, ASA, AAS. Der Rechner behandelt nur SSS (drei Seiten). Für SAS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel), AAS (zwei Winkel + nicht eingeschlossene Seite) oder ASA (zwei Winkel + eingeschlossene Seite) benötigen Sie den Sinussatz als ergänzendes Werkzeug. SSA ist mehrdeutig (der "zweideutige Fall") und kann 0, 1 oder 2 gültige Dreiecke ergeben.
Negative Flächen sind Unsinn. Die Heron-Formel kann für ungültige Eingaben eine komplexe Zahl ergeben; der Rechner filtert zuerst über die Prüfung der Dreiecksungleichung.
Koordinatenbasierte Eingabe. Einige Benutzer möchten drei (x, y) Eckpunktkoordinaten anstelle von drei Seitenlängen eingeben. Berechnen Sie zuerst die Seitenlängen (euklidischer Abstand) und geben Sie diese ein.
Sphärische / hyperbolische Dreiecke. Die hier verwendeten flachebenen Formeln gehen von euklidischer Geometrie aus. Dreiecke auf einer Kugel (Geodäten auf der Erde) haben Winkelsummen > 180°, auf hyperbolischen Flächen < 180°. Andere Formeln (sphärischer Kosinussatz etc.).
Triangulation für rechtliche / vermessungstechnische Zwecke. Für reale Vermessungen benötigen Sie winkelbasierte Methoden (Theodolit-Messungen), nicht nur Seitenlängen. Der Rechner ist für reine Geometrie, nicht für praktische Landvermessung.
Grenzfälle bei der Klassifizierung gleichseitiger Dreiecke. Seiten 5,000, 5,001, 5,000 sind fast gleichseitig, aber technisch gesehen gleichschenklig. Der Rechner verwendet eine Toleranz von 0,001; verengen oder lockern Sie diese nach Bedarf.