Calculador de triângulo

Porquê este cálculo

O triângulo é o polígono plano mais simples e o bloco de construção da trigonometria, topografia, navegação e gráficos de computador. Resolver um triângulo — encontrar todos os seis elementos (três lados, três ângulos) a partir do subconjunto disponível — é o exercício canónico da geometria clássica. O caso mais comum é LLL (três lados dados): a partir dos três comprimentos de lado, a lei dos cossenos fornece todos os três ângulos, a fórmula de Heron dá a área, e a geometria elementar fornece alturas, perímetro, raio inscrito e raio circunscrito. Esta calculadora implementa a resolução LLL mais diagnósticos — classificação de tipo (retângulo/agudo/obtuso, equilátero/isósceles/escaleno) — e uma renderização visual correta em escala.

A fórmula

Dados os lados a, b, c (devem satisfazer a desigualdade triangular: cada lado é estritamente menor que a soma dos outros dois; caso contrário, não existe triângulo):

• Ângulos pela lei dos cossenos: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), cos B = (a² + c² − b²) / (2ac), C = π − A − B.
• Área pela fórmula de Heron: s = (a + b + c) / 2, área = √(s(s−a)(s−b)(s−c)).
• Perímetro: a + b + c.
• Alturas (ortogonais): h_a = 2·área / a; o mesmo para h_b, h_c.
• Raio inscrito (raio do círculo inscrito, tangente a todos os três lados): r = área / s.
• Raio circunscrito (raio do círculo circunscrito, passando por todos os três vértices): R = (a · b · c) / (4 · área).
• Tipo: equilátero se todos os lados iguais; isósceles se exatamente dois iguais; escaleno caso contrário. Retângulo se algum ângulo for 90°, obtuso se algum > 90°, agudo se todos < 90°.

Como usar

Introduza os três comprimentos de lado a, b, c. Qualquer número positivo funciona; as unidades não são especificadas (cm, m, pol, qualquer coisa — a área sai na unidade ao quadrado). A calculadora valida primeiro a desigualdade triangular; se violada, retorna "–" e uma nota de uma linha. Caso contrário, retorna todos os seis elementos (três ângulos em graus, três lados como inseridos), área, perímetro, três alturas, raio inscrito, raio circunscrito e uma classificação de tipo, mais um diagrama SVG correto em escala com rótulos de vértice e anotações de ângulo.

Exemplo trabalhado

Triângulo retângulo 3-4-5 (o triângulo pitagórico clássico).

• Desigualdade triangular: 3 + 4 > 5 ✓.
• Ângulo A (oposto a a = 3): cos A = (16 + 25 − 9) / (2·4·5) = 32/40 = 0.8 → A = 36,87°.
• Ângulo B (oposto a b = 4): cos B = (9 + 25 − 16) / (2·3·5) = 18/30 = 0.6 → B = 53,13°.
• Ângulo C (oposto a c = 5): C = 180 − 36,87 − 53,13 = 90,00° (retângulo!).
• s = (3+4+5)/2 = 6. área = √(6·3·2·1) = √36 = 6.
• Perímetro: 12.
• Alturas: h_a = 12/3 = 4; h_b = 12/4 = 3; h_c = 12/5 = 2,4.
• Raio inscrito: 6/6 = 1. Raio circunscrito: (3·4·5)/(4·6) = 60/24 = 2,5 (= metade da hipotenusa, como esperado para um triângulo retângulo).
• Tipo: Retângulo / Escaleno.

Equilátero 6-6-6: ângulos todos 60°, área = (√3/4)·6² ≈ 15,59, perímetro 18, alturas todas (√3/2)·6 ≈ 5,196, raio inscrito √3 ≈ 1,732, raio circunscrito 2√3 ≈ 3,464.

Armadilhas

Precisão de ponto flutuante perto de triângulos degenerados. Um triângulo com lados 1, 1, 1,999999 é malmente válido; a lei dos cossenos dá um ângulo muito próximo de 180°, e pequenos erros de entrada aumentam os ângulos calculados. A calculadora trata a desigualdade estrita (≤ rejeitado) mas não avisa casos quase degenerados.

Verificação da desigualdade triangular é estrita. Lados 3, 4, 7 falham (3 + 4 = 7, igualdade); a calculadora rejeita. Um "triângulo degenerado" (pontos colineares) tem área 0 e geometricamente não é um triângulo.

Detecção de ângulo reto em ponto flutuante. A calculadora detecta ângulos retos quando |ângulo − 90°| < 0,01°. Um triângulo genuinamente reto inserido com lados arredondados (por exemplo, 7-7-9,9 em vez de 7-7-9,899...) não será classificado como Reto; o rótulo de tipo volta graciosamente para Agudo / Obtuso.

Sem suporte SAS, ASA, AAS. A calculadora apenas faz LLL (três lados). Para SAS (dois lados + ângulo incluído), AAS (dois ângulos + lado não incluído), ou ASA (dois ângulos + lado incluído), precisa da lei dos senos como ferramenta complementar. SSA é ambíguo (o "caso ambíguo") e pode ter 0, 1 ou 2 triângulos válidos.

Áreas negativas são sem sentido. A fórmula de Heron pode retornar um número complexo para entradas inválidas; a calculadora filtra primeiro através da verificação da desigualdade triangular.

Entrada baseada em coordenadas. Alguns utilizadores querem introduzir três coordenadas de vértice (x, y) em vez de três comprimentos de lado. Calcule primeiro os comprimentos dos lados (distância Euclidiana) e alimente-os.

Triângulos esféricos / hiperbólicos. As fórmulas de plano plano aqui assumem geometria Euclidiana. Triângulos em uma esfera (geodésicas na Terra) têm somas de ângulos > 180°, e em superfícies hiperbólicas < 180°. Fórmulas diferentes (lei esférica dos cossenos, etc.).

Triangulação legal / de levantamento. Para levantamento real, precisa de métodos baseados em ângulos (medições de teodolito), não apenas comprimentos de lado. A calculadora é para geometria pura, não para levantamento de terras prático.

Casos extremos de classificação de equilátero. Lados 5,000, 5,001, 5,000 são quase equiláteros mas tecnicamente isósceles. A calculadora usa uma tolerância de 0,001; aperte ou afrouxe conforme necessário.

Variações

• Calculadora de triângulo retângulo: especializada para o caso SOH-CAH-TOA, dado dois de {hipotenusa, cateto, cateto, ângulo}.
• Tabelas trigonométricas / círculo unitário: para sen/cos/tan simples de ângulos comuns.
• Gerador de triângulos pitagóricos: triângulos retângulos com lados inteiros (3-4-5, 5-12-13, etc.).
• Solucionador de triângulo esférico: para navegação de grande círculo em uma esfera.
• Geometria de coordenadas: variante de entrada de vértice; calcule comprimentos de lado a partir de coordenadas, depois alimente para LLL.