Sin, cos, tan und die drei Kehrwerte für jeden Winkel in Grad oder Bogenmaß, mit dem Einheitskreis und den Sinus-/Kosinuswellen daneben.
Geben Sie einen beliebigen Winkel ein – positiv, negativ oder über eine volle Umdrehung hinaus. Der Rechner normalisiert ihn auf seinen Hauptwert im Intervall [0°, 360°), zeigt den Bezugswinkel und Quadranten an und liefert die exakte Form für Lehrbuchwinkel (Vielfache von 30° oder 45°).
Definitionen: Auf dem Einheitskreis mit Radius 1 hat der Punkt im Winkel θ, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse, die Koordinaten (cos θ, sin θ). Alle anderen trigonometrischen Verhältnisse ergeben sich daraus: tan θ = sin θ / cos θ und die Kehrwerte csc, sec, cot. Bezugswinkel = der spitze Winkel zwischen der Endseite und der x-Achse; er gibt an, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Lehrbuchwert gespiegelt wird.
Der Einheitskreis-Rechner wandelt einen einzelnen Winkel in die gesamte Familie der trigonometrischen Größen um, die von ihm abhängen: die sechs trigonometrischen Verhältnisse (Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekans, Kotangens), den Hauptwert des Winkels im Bereich [0°, 360°), den entsprechenden Bezugswinkel, das Quadrant und – wenn die Eingabe einer der speziellen Winkel aus dem Lehrbuch ist – den geschlossenen exakten Wert mit Brüchen und Quadratwurzeln. Zwei Visualisierungen begleiten die Zahlen. Die erste ist der Einheitskreis selbst, mit dem Punkt (cos θ, sin θ) am Rand, dem Radius vom Ursprung zu diesem Punkt und gestrichelten Senkrechten zu den Achsen, damit Sie sin θ und cos θ geometrisch ablesen können. Die zweite ist das Zeitbereichspaar der Kurven y = sin x und y = cos x im Intervall [0, 2π], mit vertikalen Markierungen bei θ, die hervorheben, wo der Winkel auf jeder Kurve landet.
In der Schule lernen wir sin, cos und tan zuerst als Verhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck kennen. Das funktioniert für spitze Winkel, kann aber die trigonometrischen Funktionen außerhalb des Bereichs (0°, 90°) nicht definieren: Es gibt kein rechtwinkliges Dreieck mit einem 120°-Winkel und keine offensichtliche Möglichkeit, über den Tangens eines negativen Winkels oder von 1000° zu sprechen. Der Einheitskreis hebt diese Einschränkung auf. Wir verankern einen Winkel θ an der positiven x-Achse, schwenken gegen den Uhrzeigersinn (oder im Uhrzeigersinn für einen negativen Winkel), und die erzeugende Seite trifft den Kreis mit Radius 1 an einem einzigen Punkt. Die x-Koordinate dieses Punktes ist cos θ; die y-Koordinate ist sin θ. Die verbleibenden vier Funktionen ergeben sich aus diesen beiden durch einfache Division. Da der Kreis symmetrisch und kontinuierlich ist, erweitert diese Definition natürlich auf jede reelle Zahl und verwandelt die Trigonometrie von einem geometrischen Trick für Dreiecke in eine vollständig allgemeine Theorie periodischer Funktionen.
Eine kleine Handvoll von Winkeln erscheint so häufig in Lehrbüchern, Physikproblemen und technischen Berechnungen, dass ihre sin-, cos- und tan-Werte es wert sind, in exakter Form auswendig gelernt zu werden. Der Rechner zeigt diese an, wann immer Ihre Eingabe übereinstimmt: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° und ihre Spiegelungen in jedem Quadranten bis 360°. Die exakten Werte umfassen ganze Zahlen, Hälften und die Surds √2/2 und √3/2 – die berühmten Verhältnisse der "30-60-90"- und "45-45-90"-Dreiecke. Das Erkennen dieser Werte beschleunigt die Kopfrechnung, vereinfacht die Überprüfung von Identitäten und hilft Ihnen, Muster zu erkennen: Zum Beispiel teilen sich sin 30° und cos 60° denselben Wert (1/2), ein Beispiel für die Kofunktionsidentität sin θ = cos(90° − θ), die Sie direkt aus der Symmetrie des Kreises ablesen können.
Der Bezugswinkel von θ ist der spitze Winkel zwischen der erzeugenden Seite und der x-Achse. Sobald Sie den Bezugswinkel und das Quadrant kennen, kennen Sie jede trigonometrische Funktion: Der absolute Wert ergibt sich aus dem Bezugswinkel, und das Vorzeichen ergibt sich aus dem Quadrant. Die Eselsbrücke ASTC ("All Students Take Calculus") fasst das Vorzeichenmuster zusammen: im Quadranten I sind alle sechs positiv; im Quadranten II sind nur sin (und sein Kehrwert csc) positiv; im Quadranten III sind nur tan und cot positiv; im Quadranten IV sind nur cos und sec positiv. Mit dieser Regel wird sin 150° zu sin 30° = 1/2 mit positivem Vorzeichen, da 150° im Quadranten II liegt, während cos 210° = −cos 30° = −√3/2 ist. Der Rechner ermittelt den Bezugswinkel und das Quadrant für Sie, aber es lohnt sich, die Nachschlagearbeit ein paar Mal von Hand zu üben: Die geometrische Intuition zahlt sich in der Analysis, bei komplexen Zahlen und in der Physik aus.
Das Auftragen von sin θ auf der vertikalen Achse, während θ sich einmal um den Einheitskreis dreht, erzeugt die Sinuswelle. Der Gipfel bei θ = 90° ist der Moment, in dem der Punkt auf dem Kreis die Spitze der y-Achse erreicht; die Nullstellen bei θ = 0° und 180° sind die Momente, in denen er die x-Achse kreuzt. Der Kosinus zeichnet dieselbe Kurve, um 90° verschoben, weshalb sin und cos manchmal als "dieselbe Welle mit Phasenverschiebung" bezeichnet werden. Dieses periodische, glatte Verhalten ist genau die Form unzähliger physikalischer Signale – Wechselstrom, einfache harmonische Schwingung eines Pendels oder einer Feder, die Auf- und Abbewegung eines Kolbens in einem Motor, der Luftdruck in einem musikalischen Ton, die Gezeiten. Hinter jeder Fourierschen Reihe, jedem Signalverarbeitungsfilter und jeder quantenmechanischen Wellenfunktion steckt derselbe Einheitskreis, nur neu parametrisiert.
Die Physik verwendet den Einheitskreis zur Beschreibung von Rotationen und Oszillationen: Winkelgeschwindigkeit, Phasenwinkel, Resonanzspitzen. Die Elektrotechnik verwendet cos und sin zur Modellierung der In-Phase- und Quadraturkomponenten eines Wechselstromsignals, wobei Phasoren sich in der komplexen Ebene mit derselben Geschwindigkeit wie der Punkt auf unserem Kreis drehen. Die Computergrafik dreht 2D- und 3D-Objekte mit Rotationsmatrizen, deren Einträge sin und cos des Drehwinkels sind. Navigation, Vermessung und Astronomie verwenden trigonometrische Identitäten, um Positionen auf einer gekrümmten Erde zu triangulieren. Maschinelles Lernen verwendet sinusförmige Positionskodierungen in Transformer-Modellen, damit Aufmerksamkeits-Schichten die relative Position ohne expliziten Schrittzähler ausdrücken können. Keines dieser Gebiete benötigt den Einheitskreis direkt – aber jedes von ihnen kollabiert darauf zurück, wenn man die zugrunde liegenden Formeln ausreichend beansprucht.
Zwei Fallen erwischen Anfänger. Die erste ist das Vermischen von Grad und Bogenmaß: Die meisten mathematischen Programme (und die meisten Taschenrechner) verwenden standardmäßig Bogenmaß, sodass sin(30) auf einem neuen Rechner sin von 30 Bogenmaß und nicht 30° zurückgibt. Dieser Rechner vermeidet die Falle, indem er die Einheit explizit abfragt. Die zweite Falle ist das Vergessen, dass tan, sec, csc und cot undefiniert sein können: tan 90° hat keinen Wert, weil cos 90° = 0 ist, und csc 0° hat keinen Wert, weil sin 0° = 0 ist. Der Rechner zeigt für diese Pole "∞" an, um den Fall sichtbar und nicht stillschweigend zu machen. Abgesehen davon ist der Rest Übung – versuchen Sie ein paar negative Winkel, gehen Sie über 360° hinaus und beobachten Sie, wie die Normalisierung die Antwort zurück in [0°, 360°) wickelt, ohne die trigonometrischen Werte zu ändern.