Seno, cosseno, tangente e os três recíprocos de qualquer ângulo em graus ou radianos, com o círculo trigonométrico e as ondas senoidal/cossenoidal desenhadas ao lado.
Insira qualquer ângulo — positivo, negativo ou maior que uma volta completa. A calculadora o normaliza para seu valor principal em [0°, 360°), mostra o ângulo de referência e o quadrante, e fornece a forma exata para ângulos de livro (múltiplos de 30° ou 45°).
Definições: no círculo trigonométrico de raio 1, o ponto no ângulo θ medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo tem coordenadas (cos θ, sen θ). Todas as outras razões trigonométricas seguem: tan θ = sen θ / cos θ, e os recíprocos csc, sec, cot. Ângulo de referência = o ângulo agudo entre o lado terminal e o eixo x; ele diz em qual quadrante do círculo trigonométrico espelhar o valor do livro.
A calculadora do círculo trigonométrico transforma um único ângulo em toda a família de quantidades trigonométricas que dele dependem: as seis razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cossecante, secante, cotangente), o valor principal do ângulo em [0°, 360°), o ângulo de referência correspondente, o quadrante e — quando a entrada é um dos ângulos especiais didáticos — o valor exato em forma fechada envolvendo frações e raízes quadradas. Duas visualizações acompanham os números. A primeira é o próprio círculo trigonométrico, com o ponto (cos θ, sin θ) plotado na borda, o raio traçado a partir da origem até esse ponto, e perpendiculares tracejadas descendo para os eixos para que você possa ler geometricamente sin θ e cos θ. A segunda é o par de curvas no domínio do tempo y = sin x e y = cos x no intervalo [0, 2π], com marcadores verticais em θ que destacam onde o ângulo cai em cada curva.
Na escola, primeiro encontramos sin, cos e tan como razões dentro de um triângulo retângulo. Isso funciona para ângulos agudos, mas não pode definir as funções trigonométricas fora do intervalo (0°, 90°): não existe triângulo retângulo com ângulo de 120°, nem uma maneira óbvia de falar sobre a tangente de um ângulo negativo ou de 1000°. O círculo trigonométrico remove essa restrição. Ancoramos um ângulo θ no eixo x positivo, varremos no sentido anti-horário (ou horário para um ângulo negativo), e o lado terminal atinge o círculo de raio 1 em um único ponto. A coordenada x desse ponto é cos θ; a coordenada y é sin θ. As quatro funções restantes seguem destas duas por simples divisão. Como o círculo é simétrico e contínuo, essa definição se estende naturalmente a todos os números reais, transformando a trigonometria de um truque geométrico para triângulos em uma teoria totalmente geral de funções periódicas.
Um pequeno punhado de ângulos aparece com tanta frequência em livros didáticos, problemas de física e cálculos de engenharia que seus valores de seno, cosseno e tangente valem a pena ser memorizados em forma exata. A calculadora exibe esses valores sempre que sua entrada corresponde: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° e seus reflexos em todos os quadrantes até 360°. Os valores exatos envolvem inteiros, metades e os surdos √2/2 e √3/2 — as famosas razões dos triângulos "30-60-90" e "45-45-90". Reconhecê-los acelera a aritmética mental, torna as identidades mais limpas para verificar e ajuda você a identificar padrões: por exemplo, sin 30° e cos 60° compartilham o mesmo valor (1/2), um exemplo da identidade cofunção sin θ = cos(90° − θ) que você pode ler diretamente da simetria do círculo.
O ângulo de referência de θ é o ângulo agudo entre o lado terminal e o eixo x. Uma vez que você conhece o ângulo de referência e o quadrante, você conhece todas as funções trigonométricas: o valor absoluto vem do ângulo de referência e o sinal vem do quadrante. O mnemônico ASTC ("All Students Take Calculus" — Todos os Alunos Fazem Cálculo) resume o padrão de sinais: no quadrante I todos os seis são positivos; no II apenas sin (e seu recíproco csc) são positivos; no III apenas tan e cot são positivos; no IV apenas cos e sec são positivos. Usando isso, sin 150° se reduz a sin 30° = 1/2 com um sinal positivo porque 150° está no quadrante II, enquanto cos 210° é −cos 30° = −√3/2. A calculadora calcula o ângulo de referência e o quadrante para você, mas vale a pena praticar a consulta à mão algumas vezes: a intuição geométrica compensa em cálculo, números complexos e física.
Plotar sin θ no eixo vertical enquanto θ gira uma vez em torno do círculo trigonométrico produz a onda senoidal. O pico em θ = 90° é o momento em que o ponto no círculo atinge o topo do eixo y; os cruzamentos zero em θ = 0° e 180° são os momentos em que ele cruza o eixo x. O cosseno traça a mesma curva deslocada em 90°, que é por que seno e cosseno são às vezes descritos como a "mesma onda com uma diferença de fase". Esse comportamento periódico e suave é precisamente a forma de inúmeros sinais físicos — corrente alternada, movimento harmônico simples de um pêndulo ou mola, a posição de subida e descida de um pistão em um motor, a pressão do ar em um tom musical, a maré. Atrás de cada série de Fourier, cada filtro de processamento de sinais e cada função de onda quântica-mecânica está o mesmo círculo trigonométrico, apenas reparametrizado.
A física usa o círculo trigonométrico para descrever rotações e oscilações: velocidade angular, ângulos de fase, picos de ressonância. Engenharia elétrica usa cos e sin para modelar os componentes em fase e em quadratura de um sinal CA, com fasores girando no plano complexo na mesma velocidade que o ponto em nosso círculo. Computação gráfica rotaciona objetos 2D e 3D com matrizes de rotação cujas entradas são sin e cos do ângulo de rotação. Navegação, agrimensura e astronomia usam identidades trigonométricas para triangular posições em uma Terra curva. Machine learning usa codificações posicionais sinusoidais em modelos transformadores para que as camadas de atenção possam falar sobre posição relativa sem um contador de passos explícito. Nenhum desses domínios requer o círculo trigonométrico diretamente — mas todos eles colapsam para ele quando você pressiona o suficiente nas fórmulas subjacentes.
Duas armadilhas pegam os iniciantes. A primeira é misturar graus e radianos: a maioria dos softwares matemáticos (e a maioria das calculadoras) usa radianos por padrão, então sin(30) em uma calculadora recém-ligada retorna o seno de 30 radianos, não 30°. Esta calculadora evita a armadilha perguntando a unidade explicitamente. A segunda armadilha é esquecer que tan, sec, csc e cot podem ser indefinidos: tan 90° não tem valor porque cos 90° = 0, e csc 0° não tem valor porque sin 0° = 0. A calculadora exibe "∞" para esses polos para tornar o caso visível em vez de silencioso. Além disso, o resto é prática — tente alguns ângulos negativos, vá além de 360°, e observe como a normalização retorna a resposta para [0°, 360°) sem alterar nenhum dos valores trigonométricos.