Seno, coseno, tangente e i tre reciproci da qualsiasi angolo in gradi o radianti, con il cerchio unitario e le onde sinusoidali/cosinusoidali disegnate a fianco.
Inserisci un angolo qualsiasi — positivo, negativo o oltre un giro completo. La calcolatrice lo normalizza al suo valore principale in [0°, 360°), mostra l'angolo di riferimento e il quadrante, e fornisce la forma esatta per gli angoli standard (multipli di 30° o 45°).
Definizioni: sul cerchio unitario di raggio 1, il punto all'angolo θ misurato in senso antiorario dall'asse x positivo ha coordinate (cos θ, sin θ). Tutte le altre funzioni trigonometriche seguono: tan θ = sin θ / cos θ, e le loro inverse csc, sec, cot. Angolo di riferimento = l'angolo acuto tra il lato terminale e l'asse x; indica in quale quadrante del cerchio unitario specchiare il valore standard.
La calcolatrice del cerchio unitario trasforma un singolo angolo nell'intera famiglia di quantità trigonometriche che ne dipendono: i sei rapporti trigonometrici (seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente), il valore principale dell'angolo in [0°, 360°), l'angolo di riferimento corrispondente, il quadrante e, quando l'input è uno degli angoli speciali dei libri di testo, il valore esatto in forma chiusa che coinvolge frazioni e radici quadrate. Due visualizzazioni accompagnano i numeri. La prima è il cerchio unitario stesso, con il punto (cos θ, sin θ) tracciato sul bordo, il raggio disegnato dall'origine a quel punto e perpendicolari tratteggiate che scendono sugli assi in modo da poter leggere geometricamente sin θ e cos θ. La seconda è la coppia di curve nel dominio del tempo y = sin x e y = cos x sull'intervallo [0, 2π], con marcatori verticali in θ che evidenziano dove l'angolo atterra su ciascuna curva.
A scuola incontriamo per la prima volta sin, cos e tan come rapporti all'interno di un triangolo rettangolo. Questo funziona per gli angoli acuti ma non può definire le funzioni trigonometriche al di fuori dell'intervallo (0°, 90°): non esiste un triangolo rettangolo con un angolo di 120°, né un modo ovvio per parlare della tangente di un angolo negativo o di 1000°. Il cerchio unitario rimuove questa restrizione. Ancoriamo un angolo θ sull'asse x positivo, ruotiamo in senso antiorario (o in senso orario per un angolo negativo), e il lato terminale colpisce il cerchio di raggio 1 in un singolo punto. La coordinata x di quel punto è cos θ; la coordinata y è sin θ. Le restanti quattro funzioni derivano da queste due per semplice divisione. Poiché il cerchio è simmetrico e continuo, questa definizione si estende naturalmente a ogni numero reale, trasformando la trigonometria da un trucco geometrico per triangoli a una teoria completamente generale delle funzioni periodiche.
Una piccola manciata di angoli appare così spesso nei libri di testo, nei problemi di fisica e nei calcoli ingegneristici che i loro valori di sin, cos e tan valgono la pena di essere memorizzati in forma esatta. La calcolatrice visualizza questi valori ogni volta che il tuo input corrisponde: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° e i loro riflessi in ogni quadrante fino a 360°. I valori esatti coinvolgono numeri interi, mezzi e i surdi √2/2 e √3/2 — i famosi rapporti dei triangoli "30-60-90" e "45-45-90". Riconoscerli velocizza l'aritmetica mentale, rende le identità più pulite da verificare e ti aiuta a individuare schemi: ad esempio, sin 30° e cos 60° condividono lo stesso valore (1/2), un esempio dell'identità delle cofunzioni sin θ = cos(90° − θ) che puoi leggere direttamente dalla simmetria del cerchio.
L'angolo di riferimento di θ è l'angolo acuto tra il lato terminale e l'asse x. Una volta che conosci l'angolo di riferimento e il quadrante, conosci ogni funzione trigonometrica: il valore assoluto deriva dall'angolo di riferimento e il segno deriva dal quadrante. Il mnemonico ASTC ("All Students Take Calculus") riassume lo schema dei segni: nel quadrante I tutti e sei sono positivi; nel II solo sin (e il suo reciproco csc) sono positivi; nel III solo tan e cot sono positivi; nel IV solo cos e sec sono positivi. Usando questo, sin 150° si riduce a sin 30° = 1/2 con un segno positivo perché 150° si trova nel quadrante II, mentre cos 210° è −cos 30° = −√3/2. La calcolatrice calcola l'angolo di riferimento e il quadrante per te, ma vale la pena esercitarsi con la ricerca a mano un paio di volte: l'intuizione geometrica ripaga in tutto il calcolo, i numeri complessi e la fisica.
Tracciare sin θ sull'asse verticale mentre θ compie un giro completo attorno al cerchio unitario produce l'onda sinusoidale. Il picco a θ = 90° è il momento in cui il punto sul cerchio raggiunge la cima dell'asse y; gli attraversamenti dello zero a θ = 0° e 180° sono i momenti in cui attraversa l'asse x. Il coseno traccia la stessa curva spostata di 90°, motivo per cui seno e coseno sono a volte descritti come la "stessa onda con una differenza di fase". Questo comportamento periodico e liscio è precisamente la forma di innumerevoli segnali fisici: corrente alternata, moto armonico semplice di un pendolo o di una molla, la posizione su-giù di un pistone in un motore, la pressione dell'aria in un tono musicale, la marea. Dietro ogni serie di Fourier, ogni filtro di elaborazione dei segnali e ogni funzione d'onda quantomeccanica si trova lo stesso cerchio unitario, solo ri-parametrizzato.
La fisica utilizza il cerchio unitario per descrivere rotazioni e oscillazioni: velocità angolare, angoli di fase, picchi di risonanza. L'ingegneria elettrica utilizza cos e sin per modellare le componenti in fase e in quadratura di un segnale AC, con fasori che ruotano nel piano complesso alla stessa velocità del punto sul nostro cerchio. La computer grafica ruota oggetti 2D e 3D con matrici di rotazione le cui voci sono sin e cos dell'angolo di rotazione. Navigazione, topografia e astronomia utilizzano identità trigonometriche per triangolare posizioni su una terra curva. Il machine learning utilizza codifiche posizionali sinusoidali nei modelli transformer in modo che i layer di attenzione possano parlare di posizione relativa senza un contatore di passi esplicito. Nessuno di questi domini richiede direttamente il cerchio unitario, ma ognuno di essi vi ritorna quando si premono abbastanza forte le formule sottostanti.
Due trappole colpiscono i principianti. La prima è confondere gradi e radianti: la maggior parte dei software matematici (e la maggior parte delle calcolatrici) utilizza di default i radianti, quindi sin(30) su una calcolatrice appena accesa restituisce il sin di 30 radianti, non di 30°. Questa calcolatrice evita la trappola chiedendo esplicitamente l'unità. La seconda trappola è dimenticare che tan, sec, csc e cot possono essere indefiniti: tan 90° non ha valore perché cos 90° = 0, e csc 0° non ha valore perché sin 0° = 0. La calcolatrice visualizza "∞" per questi poli per rendere visibile il caso piuttosto che silenzioso. Oltre a questi, il resto è pratica: prova alcuni angoli negativi, vai oltre 360°, e osserva come la normalizzazione riporta la risposta in [0°, 360°) senza cambiare nessuno dei valori trigonometrici.