単位円とサイン/コサイン波を並べて描画し、度またはラジアンの任意の角度から、sin、cos、tan および 3 つの逆数を計算します。
任意の角度（正、負、または1回転を超えるもの）を入力してください。電卓はそれを[0°, 360°)の主値に正規化し、基準角度と象限を表示し、教科書的な角度（30°または45°の倍数）の正確な形式を提供します。
定義: 半径1の単位円において、正のx軸から反時計回りに測った角度θにおける点の座標は(cos θ, sin θ)です。他のすべての三角比はそれに続きます: tan θ = sin θ / cos θ、およびその逆数であるcsc、sec、cot。基準角度 = 終辺とx軸の間の鋭角。これにより、教科書的な値を単位円のどの象限に映すべきかがわかります。
単位円電卓は、1つの角度から、それに関連する三角法のすべての量（6つの三角関数（サイン、コサイン、タンジェント、コセカント、セカント、コタンジェント）、[0°, 360°) の角度の主値、対応する基準角、象限、および入力が教科書でおなじみの特殊な角度のいずれかである場合は、分数と平方根を含む正確な閉形式の値）に変換します。2つの視覚化が数値と並んで表示されます。最初のものは単位円自体で、円周上に点 (cos θ, sin θ) がプロットされ、原点からその点への半径が描かれ、sin θ と cos θ を幾何学的に読み取れるように軸に下ろされた破線の垂線があります。2番目のものは、区間 [0, 2π] における曲線 y = sin x および y = cos x の時間領域のペアで、角度が各曲線にどこに着地するかを強調する θ における垂直マーカーがあります。
学校では、まず sin、cos、tan を直角三角形内の比率として学びます。これは鋭角には機能しますが、(0°, 90°) の範囲外の三角関数を定義することはできません。120° の角度を持つ直角三角形はなく、負の角度または 1000° のタンジェントについて話す明確な方法もありません。単位円はこの制限を解消します。角度 θ を正の x 軸に固定し、反時計回り（負の角度の場合は時計回り）に回転させると、終辺が半径 1 の円を 1 点で交差します。その点の x 座標が cos θ、y 座標が sin θ です。残りの 4 つの関数は、これら 2 つから単純な除算で導かれます。円は対称的で連続的であるため、この定義はすべての実数に自然に拡張され、三角法を三角形の幾何学的なトリックから周期関数の完全に一般的な理論に変えます。
教科書、物理学の問題、工学計算で非常に頻繁に登場する少数の角度は、その sin、cos、tan の値が正確な形式で記憶する価値があります。電卓は、入力が 0°、30°、45°、60°、90° およびそれらのすべての象限での 360° までの反射に一致する場合に、これらを表面化します。正確な値には、整数、半数、および無理数 √2/2 と √3/2 が含まれます。これは有名な「30-60-90」と「45-45-90」の三角形の比率です。それらを認識すると、暗算が速くなり、恒等式が検証しやすくなり、パターンを特定するのに役立ちます。たとえば、sin 30° と cos 60° は同じ値 (1/2) を共有します。これは、円の対称性から直接読み取れる余関数恒等式 sin θ = cos(90° − θ) の例です。
θ の基準角は、終辺と x 軸の間の鋭角です。基準角と象限がわかれば、すべての三角関数がわかります。絶対値は基準角から得られ、符号は象限から得られます。頭字語 ASTC（「All Students Take Calculus」）は、符号パターンを要約しています。象限 I ではすべての 6 つが正です。II では sin（とその逆数 csc）のみが正です。III では tan と cot のみが正です。IV では cos と sec のみが正です。これを使用すると、sin 150° は sin 30° = 1/2 に減少しますが、150° は象限 II にあるため正の符号になります。一方、cos 210° は −cos 30° = −√3/2 です。電卓は基準角と象限を計算してくれますが、手作業で数回練習する価値はあります。幾何学的な直観は、微積分、複素数、物理学全体で報われます。
単位円を一回転する θ に沿って y 軸上に sin θ をプロットすると、サイン波が生成されます。θ = 90° のピークは、円上の点が y 軸の頂点に達した瞬間です。θ = 0° および 180° のゼロ交差は、x 軸を横切る瞬間です。コサインは 90° ずれた同じ曲線を描きます。これが、sin と cos が「位相差のある同じ波」と呼ばれることがある理由です。この周期的で滑らかな挙動は、交流、振り子やばねの単振動、エンジンのピストンの上下運動、楽音の空気圧、潮汐など、数え切れないほどの物理信号のまさにその形状です。すべてのフーリエ級数、すべての信号処理フィルター、すべての量子力学的な波動関数の背後には、パラメータが再設定された同じ単位円が座っています。
物理学では、単位円を使用して回転と振動を記述します。角速度、位相角、共振ピーク。電気工学では、cos と sin を使用して、AC 信号の同相成分と直交成分をモデル化します。フェーザは、単位円上の点と同じ速度で複素平面を回転します。コンピュータグラフィックスは、回転行列のエントリが回転角の sin と cos である 2D および 3D オブジェクトを回転させます。ナビゲーション、測量、天文学では、三角恒等式を使用して曲がった地球上の位置を三角測量します。機械学習では、Transformer モデルで正弦波位置エンコーディングを使用し、注意層が明示的なステップカウンターなしで相対位置について話せるようにします。これらのドメインのいずれも単位円を直接必要としませんが、十分な根拠となる数式を突き詰めると、すべてがそれに収束します。
初心者を捉える 2 つの落とし穴があります。最初の落とし穴は、度とラジアンを混同することです。ほとんどの数学ソフトウェア（およびほとんどの電卓）はラジアンをデフォルトとするため、新しい電卓での sin(30) は 30° のサインではなく、30 ラジアンのサインを返します。この電卓は、単位を明示的に尋ねることでこの落とし穴を回避します。2 番目の落とし穴は、tan、sec、csc、cot が未定義になる可能性があることを忘れることです。tan 90° は cos 90° = 0 であるため値がなく、csc 0° は sin 0° = 0 であるため値がありません。電卓は、これらの極に対して「∞」を表示して、ケースをサイレントではなく表示可能にします。これら以外は練習です。いくつかの負の角度を試したり、360° を超えたりして、正規化がいかにして三角関数の値を変更せずに回答を [0°, 360°) にラップするかを見てください。