Sin, cos, tan et les trois inverses à partir d'un angle en degrés ou radians, avec le cercle trigonométrique et les courbes sinus/cosinus en regard.
Saisissez n'importe quel angle — positif, négatif, ou au-delà d'un tour complet. Le calculateur le ramène à sa valeur principale dans [0°, 360°), donne l'angle de référence et le quadrant, ainsi que la forme exacte pour les angles remarquables (multiples de 30° ou 45°).
Définitions : sur le cercle trigonométrique de rayon 1, le point à l'angle θ mesuré dans le sens trigonométrique direct depuis le demi-axe positif des abscisses a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Tous les autres rapports trigonométriques en découlent : tan θ = sin θ / cos θ, et les inverses csc, sec, cot. Angle de référence = l'angle aigu entre le côté terminal et l'axe des abscisses ; il indique dans quel quadrant du cercle reflechir la valeur du manuel.
Le calculateur du cercle trigonométrique convertit un angle unique en l'ensemble complet des grandeurs trigonométriques qui en dépendent : les six rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, cosécante, sécante, cotangente), la valeur principale de l'angle dans [0°, 360°), l'angle de référence correspondant, le quadrant et — lorsque la valeur saisie correspond à un angle remarquable du manuel — la forme exacte impliquant des fractions et des racines carrées. Deux graphiques accompagnent les chiffres. Le premier est le cercle trigonométrique lui-même, avec le point (cos θ, sin θ) tracé sur le cercle, le rayon dessiné de l'origine vers ce point et les perpendiculaires en pointillés qui descendent sur les axes pour que vous puissiez lire géométriquement sin θ et cos θ. Le second représente, sur le même graphique, les courbes y = sin x et y = cos x sur l'intervalle [0, 2π], avec des marqueurs verticaux en θ qui indiquent où l'angle se situe sur chaque courbe.
À l'école, on rencontre d'abord sin, cos et tan comme des rapports dans un triangle rectangle. Cette définition fonctionne pour les angles aigus mais ne permet pas de définir les fonctions trigonométriques en dehors de l'intervalle (0°, 90°) : il n'existe pas de triangle rectangle ayant un angle de 120°, et il n'y a aucune manière évidente de parler de la tangente d'un angle négatif ou de 1000°. Le cercle trigonométrique lève cette limitation. On ancre un angle θ sur le demi-axe positif des abscisses, on tourne dans le sens trigonométrique direct (ou dans le sens horaire pour un angle négatif), et le côté terminal coupe le cercle de rayon 1 en un seul point. L'abscisse de ce point est cos θ ; l'ordonnée est sin θ. Les quatre autres fonctions découlent de ces deux par une simple division. Comme le cercle est symétrique et continu, cette définition s'étend naturellement à tout réel, transformant la trigonométrie d'un truc géométrique pour triangles en une théorie générale des fonctions périodiques.
Une petite poignée d'angles apparaît si souvent dans les manuels, en physique et dans les calculs d'ingénierie qu'il vaut la peine d'en mémoriser les valeurs sin, cos et tan sous forme exacte. Le calculateur les affiche dès que votre saisie coïncide : 0°, 30°, 45°, 60°, 90° et leurs reflets dans chaque quadrant jusqu'à 360°. Les valeurs exactes mettent en jeu des entiers, des moitiés et les nombres irrationnels √2/2 et √3/2 — les célèbres rapports des triangles "30-60-90" et "45-45-90". Les reconnaître accélère le calcul mental, rend les identités plus propres à vérifier et aide à repérer des motifs : par exemple, sin 30° et cos 60° valent tous les deux 1/2, ce qui illustre l'identité de cofonction sin θ = cos(90° − θ) que l'on peut lire directement sur la symétrie du cercle.
L'angle de référence de θ est l'angle aigu formé par le côté terminal et l'axe des abscisses. Dès que vous connaissez l'angle de référence et le quadrant, vous connaissez toutes les fonctions trigonométriques : la valeur absolue vient de l'angle de référence, et le signe vient du quadrant. Le moyen mnémotechnique ASTC ("All Students Take Calculus") résume le tableau des signes : dans le quadrant I les six fonctions sont positives ; en II seules sin (et son inverse csc) sont positives ; en III seules tan et cot sont positives ; en IV seules cos et sec sont positives. Ainsi, sin 150° revient à sin 30° = 1/2 avec un signe positif puisque 150° appartient au quadrant II, tandis que cos 210° = −cos 30° = −√3/2. Le calculateur déduit pour vous l'angle de référence et le quadrant, mais il est utile de faire l'exercice à la main quelques fois : l'intuition géométrique se réinvestit dans toute l'analyse, en nombres complexes et en physique.
Tracer sin θ sur l'axe vertical pendant que θ parcourt une fois le cercle produit la sinusoïde. Le sommet à θ = 90° correspond au moment où le point sur le cercle atteint le haut de l'axe des ordonnées ; les passages à zéro à θ = 0° et 180° sont les instants où il croise l'axe des abscisses. Le cosinus dessine la même courbe décalée de 90°, raison pour laquelle on dit parfois que sin et cos sont "la même onde avec un déphasage". Ce comportement périodique et lisse est précisément la forme d'innombrables signaux physiques — courant alternatif, mouvement harmonique simple d'un pendule ou d'un ressort, position verticale du piston d'un moteur, pression de l'air dans un son musical, marées. Derrière toute série de Fourier, tout filtre de traitement du signal et toute fonction d'onde quantique se cache le même cercle trigonométrique, simplement reparamétré.
La physique utilise le cercle trigonométrique pour décrire rotations et oscillations : vitesse angulaire, angles de phase, pics de résonance. L'ingénierie électrique modélise par cos et sin les composantes en phase et en quadrature d'un signal alternatif, avec des phaseurs qui tournent dans le plan complexe à la même vitesse que le point de notre cercle. L'infographie fait pivoter les objets 2D et 3D au moyen de matrices de rotation dont les entrées sont sin et cos de l'angle. Navigation, topographie et astronomie utilisent les identités trigonométriques pour trianguler des positions sur une terre courbe. Le machine learning recourt à des encodages positionnels sinusoïdaux dans les modèles transformers pour que les couches d'attention puissent parler de position relative sans compteur explicite. Aucun de ces domaines n'exige directement le cercle trigonométrique — mais chacun y revient lorsqu'on pousse suffisamment loin l'analyse des formules sous-jacentes.
Deux pièges attendent les débutants. Le premier est de confondre degrés et radians : la plupart des logiciels de mathématiques (et des calculatrices) sont en radians par défaut, si bien que sin(30) sur une calculatrice fraîche renvoie le sinus de 30 radians, pas de 30°. Ce calculateur évite le piège en demandant explicitement l'unité. Le second est d'oublier que tan, sec, csc et cot peuvent ne pas être définies : tan 90° n'a pas de valeur car cos 90° = 0, et csc 0° n'a pas de valeur car sin 0° = 0. Le calculateur affiche "∞" pour ces pôles afin de rendre le cas visible plutôt que silencieux. Pour le reste, c'est une question d'entraînement — essayez quelques angles négatifs, dépassez 360°, et observez comment la normalisation ramène la réponse dans [0°, 360°) sans rien changer aux valeurs trigonométriques.