Seno, coseno, tangente y las tres recíprocas a partir de cualquier ángulo en grados o radianes, con el círculo unitario y las ondas senoidales/cosenoidales dibujadas al lado.
Introduce cualquier ángulo — positivo, negativo o mayor que una vuelta completa. La calculadora lo normaliza a su valor principal en [0°, 360°), muestra el ángulo de referencia y el cuadrante, y da la forma exacta para ángulos de libro de texto (múltiplos de 30° o 45°).
Definiciones: en el círculo unitario de radio 1, el punto en el ángulo θ medido en sentido antihorario desde el eje x positivo tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Todas las demás razones trigonométricas siguen: tan θ = sin θ / cos θ, y sus recíprocos csc, sec, cot. Ángulo de referencia = el ángulo agudo entre el lado terminal y el eje x; te dice en qué cuadrante del círculo unitario reflejar el valor del libro de texto.
La calculadora del círculo unitario convierte un ángulo dado en toda la familia de cantidades trigonométricas que dependen de él: las seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente), el valor principal del ángulo en [0°, 360°), el ángulo de referencia correspondiente, el cuadrante y, cuando la entrada es uno de los ángulos especiales del libro de texto, el valor exacto en forma cerrada que involucra fracciones y raíces cuadradas. Dos visualizaciones acompañan a los números. La primera es el círculo unitario en sí, con el punto (cos θ, sin θ) trazado en el borde, el radio dibujado desde el origen hasta ese punto y perpendiculares discontinuas que caen sobre los ejes para que pueda leer sin θ y cos θ geométricamente. La segunda es el par de curvas en el dominio del tiempo y = sin x e y = cos x en el intervalo [0, 2π], con marcadores verticales en θ que resaltan dónde aterriza el ángulo en cada curva.
En la escuela, primero conocemos el seno, el coseno y la tangente como razones dentro de un triángulo rectángulo. Eso funciona para ángulos agudos, pero no puede definir las funciones trigonométricas fuera del rango (0°, 90°): no existe un triángulo rectángulo con un ángulo de 120°, ni una forma obvia de hablar de la tangente de un ángulo negativo o de 1000°. El círculo unitario elimina esta restricción. Anclamos un ángulo θ en el eje x positivo, giramos en sentido antihorario (o en sentido horario para un ángulo negativo), y el lado terminal golpea el círculo de radio 1 en un solo punto. La coordenada x de ese punto es cos θ; la coordenada y es sin θ. Las cuatro funciones restantes siguen a estas dos por simple división. Debido a que el círculo es simétrico y continuo, esta definición se extiende naturalmente a cada número real, convirtiendo la trigonometría de un truco geométrico para triángulos en una teoría completamente general de funciones periódicas.
Un pequeño puñado de ángulos aparece con tanta frecuencia en libros de texto, problemas de física y cálculos de ingeniería que sus valores de seno, coseno y tangente merecen ser memorizados en forma exacta. La calculadora muestra estos valores cada vez que su entrada coincide: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus reflejos en cada cuadrante hasta 360°. Los valores exactos involucran enteros, mitades y los surdos √2/2 y √3/2 — las famosas razones de los triángulos "30-60-90" y "45-45-90". Reconocerlos acelera la aritmética mental, hace que las identidades sean más fáciles de verificar y ayuda a detectar patrones: por ejemplo, sin 30° y cos 60° comparten el mismo valor (1/2), un ejemplo de la identidad de cofunción sin θ = cos(90° − θ) que se puede leer directamente de la simetría del círculo.
El ángulo de referencia de θ es el ángulo agudo entre el lado terminal y el eje x. Una vez que conoce el ángulo de referencia y el cuadrante, conoce cada función trigonométrica: el valor absoluto proviene del ángulo de referencia y el signo proviene del cuadrante. El mnemotécnico ASTC ("All Students Take Calculus") resume el patrón de signos: en el cuadrante I todos los seis son positivos; en el II solo el seno (y su recíproco csc) son positivos; en el III solo la tangente y la cotangente son positivas; en el IV solo el coseno y la secante son positivos. Usando esto, sin 150° se reduce a sin 30° = 1/2 con un signo positivo porque 150° se encuentra en el cuadrante II, mientras que cos 210° es −cos 30° = −√3/2. La calculadora calcula el ángulo de referencia y el cuadrante por usted, pero vale la pena practicar la búsqueda a mano un par de veces: la intuición geométrica se recompensa en cálculo, números complejos y física.
Graficar sin θ en el eje vertical a medida que θ recorre una vez el círculo unitario produce la onda sinusoidal. El pico en θ = 90° es el momento en que el punto en el círculo alcanza la parte superior del eje y; los cruces por cero en θ = 0° y 180° son los momentos en que cruza el eje x. El coseno traza la misma curva desplazada en 90°, por eso el seno y el coseno a veces se describen como la "misma onda con una diferencia de fase". Este comportamiento periódico y suave es precisamente la forma de innumerables señales físicas: corriente alterna, movimiento armónico simple de un péndulo o un resorte, la posición de arriba y abajo de un pistón en un motor, la presión del aire en un tono musical, la marea. Detrás de cada serie de Fourier, cada filtro de procesamiento de señales y cada función de onda cuántica se encuentra el mismo círculo unitario, simplemente reproparametrizado.
La física utiliza el círculo unitario para describir rotaciones y oscilaciones: velocidad angular, ángulos de fase, picos de resonancia. La ingeniería eléctrica utiliza coseno y seno para modelar los componentes en fase y en cuadratura de una señal de CA, con fasores que giran en el plano complejo a la misma velocidad que el punto en nuestro círculo. Los gráficos por computadora rotan objetos 2D y 3D con matrices de rotación cuyas entradas son seno y coseno del ángulo de rotación. La navegación, la topografía y la astronomía utilizan identidades trigonométricas para triangular posiciones en una Tierra curva. El aprendizaje automático utiliza codificaciones de posición sinusoidales en modelos de transformadores para que las capas de atención puedan hablar de posición relativa sin un contador de pasos explícito. Ninguno de estos dominios requiere el círculo unitario directamente, pero todos ellos vuelven a él cuando se exigen lo suficiente las fórmulas subyacentes.
Dos trampas atrapan a los principiantes. La primera es mezclar grados y radianes: la mayoría del software matemático (y la mayoría de las calculadoras) utiliza radianes por defecto, por lo que sin(30) en una calculadora recién encendida devuelve el seno de 30 radianes, no 30°. Esta calculadora evita la trampa pidiendo explícitamente la unidad. La segunda trampa es olvidar que la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente pueden no estar definidas: tan 90° no tiene valor porque cos 90° = 0, y csc 0° no tiene valor porque sin 0° = 0. La calculadora muestra "∞" para estos polos para hacer visible el caso en lugar de silencioso. Más allá de estos, el resto es práctica: intente con algunos ángulos negativos, vaya más allá de 360° y observe cómo la normalización devuelve la respuesta a [0°, 360°) sin cambiar ninguno de los valores trigonométricos.