ax² + bx + c = 0 を解きます — 判別式、実数根または複素数根、頂点、対称軸、y切片、因数分解された形式を、ライブ放物線プロットとともに表示。
この電卓は、一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 を解きます。3つの係数 a、b、c（正、負、整数、または小数 - 何でも可）を入力すると、判別式、根、頂点、対称軸、y切片、因数分解された形式が即座に再計算されます。KPIカードの下にある小さな放物線プロットが結果を視覚化するため、代数が何を伝えているかを確認できます。
量 Δ = b² − 4ac、すなわち判別式は、方程式がどの3つの一般的なケースに当てはまるかを決定します。KPIカードの色は、一目でケースを反映します：実数根が2つある場合は緑、重根の場合はアンバー、複素数の場合はインディゴです。
Δ > 0 の場合、方程式は2つの異なる実数根を持ちます：x₁ = (−b − √Δ) / 2a および x₂ = (−b + √Δ) / 2a。幾何学的には、放物線はx軸を2点で交差します。プロットでは、これらの点が赤い点でマークされます。
Δ = 0 の場合、方程式はただ1つの実数根（重根）を持ちます：x = −b / 2a。放物線はx軸に頂点で接しており、1点で接するだけで交差しません。
Δ < 0 の場合、方程式は実数根を持ちません。代わりに、2つの複素共役数 α ± βi が得られます。ここで α = −b / 2a および β = √(−Δ) / 2|a| です。放物線は完全にx軸の上または下にあり、交差しません。2つの複素根は依然として意味があり、複素平面で多項式をゼロにする入力値です。電卓はこれらを標準の a + bi 形式で表示します。
すべての放物線には対称軸があります。これは、最低点（a > 0 の場合）または最高点（a < 0 の場合）を通る垂直線です。その点が頂点であり、そのx座標は −b / 2a です。そのxを方程式に代入すると、y座標 c − b² / 4a、つまり −Δ / 4a が得られます。電卓は頂点を (x, y) のペアとして表示し、放物線プロット上にアンバーのひし形でマークし、対称軸を x = −b / 2a という直線として表示します。
頂点は、根の次に放物線に関する最も有用な幾何学的情報です。関数の最小値（または最大値）を示します。二次関数を物理的な軌跡のモデルに使用する場合、頂点は射出物の経路の最高点です。形状が二次関数に近似するコスト関数を最小化する場合、頂点は最小値が存在する場所です。
y切片、すなわち f(0) の値は、単に係数 c です。これは放物線がy軸と交差する唯一の点であり、プロット上に小さな青い点でマークされます。
判別式が非負の場合、多項式は因数分解された形式で表すことができます。実数根が2つ → a(x − x₁)(x − x₂)。重根 → a(x − x₁)²。因数分解された形式はKPIとして表示されます。複素数の場合は非表示になります。なぜなら、実数での因数分解は不可能だからです（複素数上では a(x − (α + βi))(x − (α − βi)) となりますが、これはここで表面化しない抽象化レベルです）。
放物線プロットは、頂点、実数根（存在する場合）、およびy切片が存在するy軸を快適に包含するウィンドウに自動的にスケーリングされます。ウィンドウはy軸を常に表示するため、y切片を常に確認できます。実数根はx軸上の赤い点でマークされます。頂点はオレンジ色のひし形でマークされます。y切片はy軸上の小さな青い点です。
薄いグリッド線と目盛りラベルは、すべてのプロットライブラリが使用するのと同じ良好なステップアルゴリズム（1 / 2 / 5の倍数を持つ10のべき乗を丸める）に従っているため、任意のスケーリングでも軸ラベルは読みやすさを保ちます。
a = 0 の場合a をゼロに設定すると、方程式は二次方程式ではなくなり、線形方程式 bx + c = 0 となります。b ≠ 0 の場合、その唯一の解は x = −c / b です。電卓はこの状態を検出し、失敗する代わりに線形解を表示します。a と b の両方がゼロの場合、方程式は c = 0 に還元されます。これは、c 自体がゼロでない限り解を持ちません（c がゼロの場合は、すべての実数が「解」となります）。KPIラベルは「退化（二次方程式ではありません）」に切り替わり、ページが異なる種類の結果をレンダリングしていることを示します。
二次方程式は、初等代数で最も有用な恒等式の一つです。重力下での物体の軌跡（y = −½gt² + v₀t + h₀）、固定された周長を持つ長方形の面積（A = w(P/2 − w)、w の二次関数）、コストが線形に増加し収益が線形に増加するが傾きが異なる事業の損益分岐点（移項後）、既知の動作点の近くでコストまたは収率が二次関数に近似するあらゆるプロセスの最適化、および距離、角度、面積に関連する数え切れないほどの幾何学問題の代数など、モデル化します。
二次方程式の公式自体は少なくともバビロニア時代にまでさかのぼります。現代の定式化は、ax² + bx + c = 0 を平方完成することから直接導かれます。頂点の −b / 2a の由来を知りたいと思ったことがあるなら、それは同じ代数的操作です：両辺を a で割る、定数項を反対側に移動する、x² + (b/a)x を平方完成する。左辺の新しい定数項は正確に (b/2a)² です。それを引き戻すと、標準形式 a(x − vx)² + vy = 0 が得られます。これは、頂点が局所座標系の原点となるように書かれた同じ放物線です。
この電卓は、1つの変数に関する単一の二次方程式を解きます。連立方程式、2次を超える多項式の根、または記号による因数分解については、数学カタログの他の項目を参照するか、CASを使用してください。