Resuelve ax² + bx + c = 0 — discriminante, raíces reales o complejas, vértice, eje de simetría, intersección con el eje y, forma factorizada, con un gráfico de parábola en vivo.
Esta calculadora resuelve la ecuación cuadrática general ax² + bx + c = 0. Tú
escribes los tres coeficientes a, b, c (positivos, negativos, enteros o
decimales — todo vale), y la página recalcula instantáneamente el discriminante, las raíces,
el vértice, el eje de simetría, la intersección con el eje y, y la forma factorizada.
Un pequeño gráfico de parábola debajo de las tarjetas KPI visualiza el resultado para que
puedas ver lo que te dice el álgebra.
La cantidad Δ = b² − 4ac, el discriminante, decide en cuál de los tres
casos familiares cae la ecuación. Los colores de las tarjetas KPI reflejan el caso
de un vistazo: verde cuando hay dos raíces reales, ámbar para la raíz doble,
índigo para el caso complejo.
Cuando Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces reales distintas:
x₁ = (−b − √Δ) / 2a y x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Geométricamente, la parábola
cruza el eje x en dos puntos, que el gráfico marca con puntos rojos.
Cuando Δ = 0, la ecuación tiene exactamente una raíz real, repetida: x = −b /
2a. La parábola es tangente al eje x en el vértice — se tocan en un punto
en lugar de cruzarse.
Cuando Δ < 0, la ecuación tiene raíces reales nulas: en su lugar, dos conjugados complejos
α ± βi donde α = −b / 2a y β = √(−Δ) / 2|a|. La parábola
yace completamente por encima o por debajo del eje x y nunca lo cruza. Las dos raíces complejas
siguen siendo significativas — son las entradas que hacen que el polinomio sea cero
en el plano complejo — y la calculadora las muestra en la notación estándar
a + bi.
Toda parábola tiene un eje de simetría — una línea vertical que pasa por el punto más bajo
(si a > 0) o más alto (si a < 0). Ese punto es el vértice, y
su coordenada x es −b / 2a. Sustituye ese x de nuevo en la ecuación y obtienes
la coordenada y c − b² / 4a, que también es −Δ / 4a. La calculadora
imprime el vértice como el par (x, y), lo marca con un diamante ámbar en el
gráfico de la parábola, e imprime el eje de simetría como la línea x = −b / 2a.
El vértice es el dato geométrico más útil sobre una parábola después de las raíces: te dice el valor mínimo (o máximo) de la función. Si estás usando la cuadrática para modelar la trayectoria de un proyectil, el vértice es el punto más alto de la trayectoria del proyectil. Si estás minimizando una función de costo cuya forma resulta ser cuadrática, el vértice es donde se encuentra el mínimo.
La intersección con el eje y — el valor de f(0) — es simplemente el coeficiente c.
Ese es el único lugar donde la parábola cruza el eje y, marcado con un pequeño
punto azul en el gráfico.
Cuando el discriminante es no negativo, el polinomio admite una forma
factorizada. Dos raíces reales → a(x − x₁)(x − x₂). Raíz doble → a(x − x₁)².
La forma factorizada se muestra como un KPI; para el caso complejo está oculta,
ya que la factorización sobre los reales no es posible (necesitarías
a(x − (α + βi))(x − (α − βi)) sobre los números complejos, un nivel de
abstracción que no presentamos aquí).
El gráfico de la parábola se autoescala a una ventana que contiene cómodamente el vértice, ambas raíces cuando son reales, y el eje y donde se asienta la intersección con el eje y. La ventana mantiene visible el eje y, por lo que siempre ves la intersección con el eje y. Las raíces reales se marcan con puntos rojos en el eje x. El vértice se marca con un diamante naranja. La intersección con el eje y es un pequeño punto azul en el eje y.
Las líneas de cuadrícula claras y las etiquetas de las marcas siguen el mismo algoritmo de pasos agradables (potencias de 10 redondeadas con múltiplos 1 / 2 / 5) que usa cualquier biblioteca de gráficos, por lo que las etiquetas de los ejes permanecen legibles en cualquier magnitud.
a = 0Si estableces a en cero, la ecuación ya no es cuadrática sino lineal:
bx + c = 0 cuya solución única es x = −c / b cuando b ≠ 0. La
calculadora detecta esto y muestra la respuesta lineal en lugar de fallar. Si
tanto a como b son cero, la ecuación se reduce a c = 0, que no tiene solución
a menos que c sea cero (en cuyo caso cada número real es una "solución").
La etiqueta del KPI cambia a "Degenerado (no es una cuadrática)" para que sepas
que la página está renderizando un tipo de resultado diferente.
La ecuación cuadrática es una de las identidades más útiles en álgebra elemental.
Modela la trayectoria de un proyectil bajo la gravedad (y = −½gt² +
v₀t + h₀); el área de un rectángulo cuyo perímetro es fijo
(A = w(P/2 − w), una cuadrática en w); el punto de equilibrio de un negocio
cuyos costos crecen linealmente y cuyos ingresos crecen linealmente pero con una pendiente diferente
(después de reorganización); el óptimo de cualquier proceso cuyo
costo o rendimiento sea aproximadamente cuadrático cerca de un punto de operación conocido;
y el álgebra detrás de innumerables problemas de geometría que involucran distancia,
ángulo y área.
La propia fórmula cuadrática data de al menos los babilonios; la
declaración moderna de la misma se deriva directamente de completar el cuadrado en
ax² + bx + c = 0. Si alguna vez te has preguntado de dónde viene el −b / 2a en el
vértice, ese es el mismo movimiento algebraico: divide por a,
mueve la constante al otro lado, completa el cuadrado en x² + (b/a)x,
y la nueva constante en el lado izquierdo es exactamente (b/2a)². Resta de nuevo
y tienes la forma estándar a(x − vx)² + vy = 0, que es
la misma parábola escrita de modo que su vértice esté en el origen del sistema de coordenadas local.
La calculadora resuelve una sola ecuación cuadrática en una variable. Para sistemas de ecuaciones, raíces de polinomios de grado superior a 2, o factorización simbólica, consulta el resto del catálogo de matemáticas o usa un CAS.