Risolve ax² + bx + c = 0 — discriminante, radici reali o complesse, vertice, asse di simmetria, intercetta y, forma fattorizzata, con un grafico a parabola in tempo reale.
Questa calcolatrice risolve l'equazione quadratica generale ax² + bx + c = 0. Digiti i tre coefficienti a, b, c (positivi, negativi, interi o decimali — tutto è permesso), e la pagina ricalcola istantaneamente il discriminante, le radici, il vertice, l'asse di simmetria, l'intercetta y e la forma fattorizzata. Un piccolo grafico a parabola sotto le schede KPI visualizza il risultato in modo da poter vedere cosa dice l'algebra.
La quantità Δ = b² − 4ac, il discriminante, decide in quale dei tre casi familiari rientra l'equazione. I colori delle schede KPI riflettono il caso a colpo d'occhio: verde quando ci sono due radici reali, ambra per la radice doppia, indaco per il caso complesso.
Quando Δ > 0, l'equazione ha due radici reali distinte:
x₁ = (−b − √Δ) / 2a e x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Geometricamente, la parabola attraversa l'asse x in due punti, che il grafico contrassegna con punti rossi.
Quando Δ = 0, l'equazione ha esattamente una radice reale, ripetuta: x = −b / 2a. La parabola è tangente all'asse x nel vertice — si toccano in un punto anziché attraversarsi.
Quando Δ < 0, l'equazione non ha radici reali: invece, due coniugati complessi α ± βi dove α = −b / 2a e β = √(−Δ) / 2|a|. La parabola giace interamente sopra o sotto l'asse x e non lo attraversa mai. Le due radici complesse sono comunque significative — sono gli input che rendono il polinomio zero nel piano complesso — e la calcolatrice le visualizza nella notazione standard a + bi.
Ogni parabola ha un asse di simmetria — una linea verticale che passa per il punto più basso (se a > 0) o più alto (se a < 0). Quel punto è il vertice, e la sua coordinata x è −b / 2a. Sostituisci quell'x nell'equazione e ottieni la coordinata y c − b² / 4a, che è anche −Δ / 4a. La calcolatrice stampa il vertice come coppia (x, y), lo contrassegna con un rombo ambra sul grafico della parabola e stampa l'asse di simmetria come linea x = −b / 2a.
Il vertice è il fatto geometrico più utile di una parabola dopo le radici: ti dice il valore minimo (o massimo) della funzione. Se stai usando la quadratica per modellare la traiettoria di un proiettile, il vertice è il punto più alto del percorso del proiettile. Se stai minimizzando una funzione di costo la cui forma è quadraticamente approssimata vicino a un punto operativo noto, il vertice è dove si trova il minimo.
L'intercetta y — il valore di f(0) — è semplicemente il coefficiente c. Quello è l'unico punto in cui la parabola interseca l'asse y, contrassegnato da un piccolo punto blu sul grafico.
Quando il discriminante è non negativo, il polinomio ammette una forma fattorizzata. Due radici reali → a(x − x₁)(x − x₂). Radice doppia → a(x − x₁)². La forma fattorizzata viene mostrata come KPI; per il caso complesso è nascosta, poiché la fattorizzazione sui reali non è possibile (servirebbe
a(x − (α + βi))(x − (α − βi)) sui numeri complessi, un livello di astrazione che qui non presentiamo).
Il grafico della parabola si auto-scala in una finestra che contiene comodamente il vertice, entrambe le radici quando sono reali e l'asse y dove si trova l'intercetta y. La finestra mantiene visibile l'asse y, quindi vedi sempre l'intercetta y. Le radici reali sono contrassegnate da punti rossi sull'asse x. Il vertice è contrassegnato da un rombo arancione. L'intercetta y è un piccolo punto blu sull'asse y.
Lineette di griglia leggere ed etichette dei tick seguono lo stesso algoritmo di passi piacevoli (potenze di 10 arrotondate con multipli 1 / 2 / 5) che ogni libreria di plotting utilizza, quindi le etichette degli assi rimangono leggibili a qualsiasi magnitudine.
a = 0Se imposti a a zero, l'equazione non è più quadratica ma lineare: bx + c = 0 la cui soluzione unica è x = −c / b quando b ≠ 0. La calcolatrice rileva questo e mostra la risposta lineare invece di fallire. Se sia a che b sono zero, l'equazione si riduce a c = 0, che non ha soluzioni a meno che c stesso non sia zero (nel qual caso ogni numero reale è una "soluzione"). L'etichetta KPI diventa "Degenerato (non una quadratica)" così sai che la pagina sta rendendo un tipo di risultato diverso.
L'equazione quadratica è una delle identità più utili nell'algebra elementare. Modella il percorso di un proiettile sotto gravità (y = −½gt² + v₀t + h₀); l'area di un rettangolo il cui perimetro è fisso
(A = w(P/2 − w), una quadratica in w); il punto di pareggio di un'attività i cui costi crescono linearmente e il cui ricavo cresce linearmente ma con pendenza diversa (dopo riarrangiamento); l'ottimo di qualsiasi processo il cui costo o rendimento è approssimativamente quadratico vicino a un punto operativo noto; e l'algebra dietro innumerevoli problemi di geometria che coinvolgono distanza, angolo e area.
La formula quadratica stessa risale almeno ai babilonesi; la sua moderna enunciazione deriva direttamente dal completamento del quadrato su
ax² + bx + c = 0. Se ti sei mai chiesto da dove venga il −b / 2a nel vertice, quella è la stessa mossa algebrica: dividi per a, sposta la costante dall'altra parte, completa il quadrato su x² + (b/a)x, e la nuova costante a sinistra è esattamente (b/2a)². Sottraila di nuovo e ottieni la forma standard a(x − vx)² + vy = 0, che è la stessa parabola scritta in modo che il suo vertice sia l'origine del sistema di coordinate locale.
La calcolatrice risolve una singola quadratica in una variabile. Per sistemi di equazioni, radici di polinomi di grado superiore al 2, o fattorizzazione simbolica, guarda il resto del catalogo di matematica o usa un CAS.