Resolve ax² + bx + c = 0 — discriminante, raízes reais ou complexas, vértice, eixo de simetria, interseção y, forma fatorada, com um gráfico de parábola ao vivo.
Esta calculadora resolve a equação quadrática geral ax² + bx + c = 0. Você
digita os três coeficientes a, b, c (positivo, negativo, inteiro ou
decimal — qualquer coisa vale), e a página recalcula o discriminante, as raízes,
o vértice, o eixo de simetria, a interseção y e a forma fatorada
instantaneamente. Um pequeno gráfico de parábola abaixo dos cartões KPI visualiza o resultado para que você
possa ver o que a álgebra está lhe dizendo.
A quantidade Δ = b² − 4ac, o discriminante, decide em qual dos três
casos familiares a equação se enquadra. As cores dos cartões KPI refletem o caso
de relance: verde quando há duas raízes reais, âmbar para a raiz dupla,
índigo para o caso complexo.
Quando Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas:
x₁ = (−b − √Δ) / 2a e x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Geometricamente, a parábola
cruza o eixo x em dois pontos, que o gráfico marca com pontos vermelhos.
Quando Δ = 0, a equação tem exatamente uma raiz real, repetida: x = −b /
2a. A parábola é tangente ao eixo x no vértice — elas se tocam em um
ponto em vez de cruzar.
Quando Δ < 0, a equação tem nenhuma raiz real: em vez disso, dois conjugados complexos
α ± βi onde α = −b / 2a e β = √(−Δ) / 2|a|. A parábola
está inteiramente acima ou abaixo do eixo x e nunca o cruza. As duas raízes complexas
são ainda significativas — são as entradas que tornam o polinômio zero no plano complexo — e a calculadora as exibe na notação
padrão a + bi.
Toda parábola tem um eixo de simetria — uma linha vertical através do ponto mais baixo
(se a > 0) ou mais alto (se a < 0). Esse ponto é o vértice, e
sua coordenada x é −b / 2a. Substitua esse x de volta na equação e você obtém
a coordenada y c − b² / 4a, que também é −Δ / 4a. A calculadora
imprime o vértice como o par (x, y), o marca com um losango âmbar no
gráfico da parábola e imprime o eixo de simetria como a linha x = −b / 2a.
O vértice é o fato geométrico mais útil sobre uma parábola depois das raízes: ele informa o valor mínimo (ou máximo) da função. Se você estiver usando a quadrática para modelar uma trajetória de física, o vértice é o pico do caminho do projétil. Se você estiver minimizando uma função de custo cuja forma é aproximadamente quadrática perto de um ponto operacional conhecido, o vértice é onde o mínimo se encontra.
A interseção y — o valor de f(0) — é apenas o coeficiente c.
Esse é o único lugar onde a parábola cruza o eixo y, marcado com um pequeno
ponto azul no gráfico.
Quando o discriminante é não negativo, o polinômio admite uma forma
fatorada. Duas raízes reais → a(x − x₁)(x − x₂). Raiz dupla → a(x − x₁)².
A forma fatorada é mostrada como um KPI; para o caso complexo ela é oculta,
pois a fatoração sobre os reais não é possível (você precisaria de
a(x − (α + βi))(x − (α − βi)) sobre os números complexos, um nível de
abstração que não apresentamos aqui).
O gráfico da parábola se auto-escala para uma janela que contém confortavelmente o vértice, ambas as raízes quando são reais, e o eixo y onde a interseção y está. A janela mantém o eixo y visível, para que você sempre veja a interseção y. Raízes reais são marcadas com pontos vermelhos no eixo x. O vértice é marcado com um losango laranja. A interseção y é um pequeno ponto azul no eixo y.
Linhas de grade claras e rótulos de marca seguem o mesmo algoritmo de passos agradáveis (potências de 10 arredondadas com múltiplos 1 / 2 / 5) que toda biblioteca de plotagem usa, para que os rótulos dos eixos permaneçam legíveis em qualquer magnitude.
a = 0Se você definir a como zero, a equação não é mais quadrática, mas linear:
bx + c = 0 cuja solução única é x = −c / b quando b ≠ 0. A
calculadora detecta isso e mostra a resposta linear em vez de falhar. Se
tanto a quanto b forem zero, a equação se reduz a c = 0, que não tem solução
a menos que c seja zero (caso em que todo número real é uma "solução"). O rótulo do KPI muda para "Degenerado (não é uma quadrática)" para que você
saiba que a página está renderizando um tipo diferente de resultado.
A equação quadrática é uma das identidades mais úteis na álgebra elementar.
Ela modela o caminho de um projétil sob gravidade (y = −½gt² +
v₀t + h₀); a área de um retângulo cujo perímetro é fixo
(A = w(P/2 − w), uma quadrática em w); o ponto de equilíbrio de um negócio
cujas custos crescem linearmente e cuja receita cresce linearmente, mas com inclinação diferente
(após rearranjo); o ótimo de qualquer processo cujo
custo ou rendimento é aproximadamente quadrático perto de um ponto operacional conhecido;
e a álgebra por trás de incontáveis problemas de geometria envolvendo distância,
ângulo e área.
A própria fórmula quadrática remonta pelo menos aos babilônios; a
declaração moderna dela segue diretamente de completar o quadrado em
ax² + bx + c = 0. Se você já se perguntou de onde vem o −b / 2a no
vértice, esse é o mesmo movimento algébrico: divida por a,
leve a constante para o outro lado, complete o quadrado em x² + (b/a)x,
e a nova constante no lado esquerdo é exatamente (b/2a)². Subtraia-a
de volta e você tem a forma padrão a(x − vx)² + vy = 0, que é
a mesma parábola escrita de forma que seu vértice seja a origem do sistema
coordenado local.
A calculadora resolve uma única quadrática em uma variável. Para sistemas de equações, raízes de polinômios além do grau 2, ou fatoração simbólica, consulte o restante do catálogo de matemática ou use um CAS.