Résout ax² + bx + c = 0 — discriminant, racines réelles ou complexes, sommet, axe de symétrie, ordonnée à l'origine, forme factorisée, avec un graphique de parabole en direct.
Cette calculatrice résout l'équation quadratique générale ax² + bx + c = 0. Vous
tapez les trois coefficients a, b, c (positifs, négatifs, entiers, ou
décimaux — tout est permis), et la page recalcule instantanément le discriminant, les racines,
le sommet, l'axe de symétrie, l'ordonnée à l'origine, et la forme factorisée.
Un petit graphique de parabole sous les cartes KPI visualise le résultat afin que vous puissiez voir ce que l'algèbre vous dit.
La quantité Δ = b² − 4ac, le discriminant, décide dans lequel des trois
cas familiers l'équation tombe. Les couleurs des cartes KPI reflètent le cas
en un coup d'œil : vert lorsqu'il y a deux racines réelles, ambre pour la racine double,
indigo pour le cas complexe.
Lorsque Δ > 0, l'équation a deux racines réelles distinctes :
x₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Géométriquement, la parabole
croise l'axe des x en deux points, que le graphique marque de points rouges.
Lorsque Δ = 0, l'équation a exactement une racine réelle, répétée : x = −b /
2a. La parabole est tangente à l'axe des x au sommet — elles se touchent en un point
plutôt qu'elles ne se croisent.
Lorsque Δ < 0, l'équation n'a pas de racines réelles : à la place, deux conjugués complexes
α ± βi où α = −b / 2a et β = √(−Δ) / 2|a|. La parabole
est entièrement au-dessus ou en dessous de l'axe des x et ne le croise jamais. Les deux racines complexes
sont toujours significatives — ce sont les entrées qui rendent le polynôme nul dans le plan complexe — et la calculatrice les affiche dans la notation standard
a + bi.
Toute parabole a un axe de symétrie — une ligne verticale passant par le point le plus bas
(si a > 0) ou le plus haut (si a < 0). Ce point est le sommet, et
son abscisse est −b / 2a. En remplaçant cet x dans l'équation, on obtient
l'ordonnée c − b² / 4a, qui est aussi −Δ / 4a. La calculatrice
affiche le sommet comme la paire (x, y), le marque d'un losange ambre sur le
graphique de la parabole, et affiche l'axe de symétrie comme la droite x = −b / 2a.
Le sommet est le fait géométrique le plus utile d'une parabole après les racines : il indique la valeur minimale (ou maximale) de la fonction. Si vous utilisez la quadratique pour modéliser une trajectoire physique, le sommet est le pic de la trajectoire du projectile. Si vous minimisez une fonction de coût dont la forme est approximativement quadratique près d'un point de fonctionnement connu, le sommet est l'endroit où se trouve le minimum.
L'ordonnée à l'origine — la valeur de f(0) — est simplement le coefficient c.
C'est le seul endroit où la parabole croise l'axe des y, marqué d'un petit
point bleu sur le graphique.
Lorsque le discriminant est non négatif, le polynôme admet une forme
factorisée. Deux racines réelles → a(x − x₁)(x − x₂). Racine double → a(x − x₁)².
La forme factorisée est affichée comme un KPI ; pour le cas complexe, elle est cachée,
puisqu'il n'est pas possible de factoriser sur les réels (il faudrait
a(x − (α + βi))(x − (α − βi)) sur les nombres complexes, un niveau d'abstrac-
tion que nous ne mettons pas en avant ici).
Le graphique de la parabole s'ajuste automatiquement à une fenêtre qui contient confortablement le sommet, les deux racines lorsqu'elles sont réelles, et l'axe des y où se trouve l'ordonnée à l'origine. La fenêtre maintient l'axe des y visible, donc vous voyez toujours l'ordonnée à l'origine. Les racines réelles sont marquées de points rouges sur l'axe des x. Le sommet est marqué d'un losange orange. L'ordonnée à l'origine est un petit point bleu sur l'axe des y.
Les lignes de grille légères et les étiquettes des graduations suivent le même algorithme d'étapes agréable (puissances de 10 arrondies avec les multiples 1 / 2 / 5) que toutes les bibliothèques de traçage utilisent, de sorte que les étiquettes des axes restent lisibles quelle que soit l'ampleur.
a = 0Si vous mettez a à zéro, l'équation n'est plus quadratique mais linéaire :
bx + c = 0 dont la solution unique est x = −c / b lorsque b ≠ 0. La
calculatrice détecte cela et affiche la réponse linéaire au lieu d'échouer. Si
aussi bien a que b sont zéro, l'équation se réduit à c = 0, qui n'a pas de solution
sauf si c lui-même est zéro (auquel cas tout nombre réel est une "solution").
L'étiquette KPI devient "Dégénéré (pas une quadratique)" pour que vous sachiez
que la page affiche un résultat différent.
L'équation quadratique est l'une des identités les plus utiles en algèbre élémentaire.
Elle modélise la trajectoire d'un projectile sous l'effet de la gravité (y = −½gt² +
v₀t + h₀) ; l'aire d'un rectangle dont le périmètre est fixe
(A = l(P/2 − l), une quadratique en l) ; le point d'équilibre d'une entreprise
dont les coûts augmentent linéairement et dont les revenus augmentent linéairement mais avec une pente différente
(après réarrangement) ; l'optimum de tout processus dont le coût ou le rendement est approximativement quadratique près d'un point de fonctionnement connu ; et l'algèbre derrière d'innombrables problèmes de géométrie impliquant la distance,
l'angle et l'aire.
La formule quadratique elle-même remonte au moins aux Babyloniens ; l'énoncé moderne
s'en déduit directement de la complétion du carré de
ax² + bx + c = 0. Si vous vous êtes jamais demandé d'où vient le
−b / 2a dans le sommet, c'est le même mouvement algébrique : diviser par a,
mettre la constante de l'autre côté, compléter le carré de x² + (b/a)x,
et la nouvelle constante à gauche est exactement (b/2a)². La soustraire
back out et vous avez la forme standard a(x − vx)² + vy = 0, qui est
la même parabole écrite de sorte que son sommet soit l'origine du système de coordonnées local.
La calculatrice résout une seule équation quadratique dans une variable. Pour les systèmes d'équations, les racines polynomiales au-delà du degré 2, ou la factorisation symbolique, consultez le reste du catalogue de mathématiques ou utilisez un CAS.