Löst ax² + bx + c = 0 — Diskriminante, reelle oder komplexe Wurzeln, Scheitelpunkt, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt, faktorisierte Form, mit einem Live-Parabel-Plot.
Dieser Taschenrechner löst die allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0. Sie
tippen die drei Koeffizienten a, b, c (positiv, negativ, ganzzahlig oder
dezimal – alles ist erlaubt), und die Seite berechnet sofort die Diskriminante, die Wurzeln,
den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt und die faktorisierte Form.
Ein kleiner Parabel-Plot unter den KPI-Karten visualisiert das Ergebnis, sodass Sie sehen können, was die Algebra Ihnen sagt.
Die Größe Δ = b² − 4ac, die Diskriminante, entscheidet, in welchen der drei
bekannten Fälle die Gleichung fällt. Die Farben der KPI-Karten spiegeln den Fall
auf einen Blick wider: grün, wenn es zwei reelle Wurzeln gibt, bernsteinfarben für die doppelte Wurzel,
indigofarben für den komplexen Fall.
Wenn Δ > 0, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln:
x₁ = (−b − √Δ) / 2a und x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Geometrisch schneidet die Parabel
die x-Achse an zwei Punkten, die im Plot mit roten Punkten markiert sind.
Wenn Δ = 0, hat die Gleichung genau eine reelle Wurzel, wiederholt: x = −b /
2a. Die Parabel ist tangential zur x-Achse am Scheitelpunkt – sie berühren sich an einem Punkt
, anstatt sich zu schneiden.
Wenn Δ < 0, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln: stattdessen zwei komplexe
konjugierte Zahlen α ± βi, wobei α = −b / 2a und β = √(−Δ) / 2|a|. Die Parabel
liegt vollständig über oder unter der x-Achse und schneidet sie nie. Die beiden komplexen
Wurzeln sind dennoch bedeutsam – sie sind die Eingaben, die das Polynom im komplexen Bereich
null ergeben – und der Taschenrechner zeigt sie in der Standardnotation a + bi an.
Jede Parabel hat eine Symmetrieachse – eine vertikale Linie durch den niedrigsten
(wenn a > 0) oder höchsten (wenn a < 0) Punkt. Dieser Punkt ist der Scheitelpunkt,
und seine x-Koordinate ist −b / 2a. Setzt man dieses x wieder in die Gleichung ein, erhält man
die y-Koordinate c − b² / 4a, die auch −Δ / 4a ist. Der Taschenrechner
gibt den Scheitelpunkt als (x, y)-Paar aus, markiert ihn mit einem bernsteinfarbenen Diamanten im
Parabel-Plot und gibt die Symmetrieachse als Linie x = −b / 2a aus.
Der Scheitelpunkt ist die nützlichste geometrische Tatsache über eine Parabel nach den Wurzeln: Er gibt den minimalen (oder maximalen) Wert der Funktion an. Wenn Sie die quadratische Gleichung verwenden, um eine physikalische Flugbahn zu modellieren, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt des Geschosspfades. Wenn Sie eine Kostenfunktion minimieren, deren Form quadratisch ist, befindet sich der Scheitelpunkt am Minimum.
Der y-Achsenabschnitt – der Wert von f(0) – ist einfach der Koeffizient c.
Das ist der einzige Punkt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet, markiert mit einem kleinen
blauen Punkt im Plot.
Wenn die Diskriminante nicht-negativ ist, lässt sich das Polynom faktorisieren.
Zwei reelle Wurzeln → a(x − x₁)(x − x₂). Doppelte Wurzel → a(x − x₁)².
Die faktorisierte Form wird als KPI angezeigt; für den komplexen Fall ist sie ausgeblendet,
da eine Faktorisierung über die reellen Zahlen nicht möglich ist (man bräuchte
a(x − (α + βi))(x − (α − βi)) über die komplexen Zahlen, eine Abstraktionsebene, die wir hier nicht
offenlegen).
Der Parabel-Plot skaliert automatisch auf ein Fenster, das den Scheitelpunkt, bereide reellen Wurzeln und die y-Achse, auf der sich der y-Achsenabschnitt befindet, bequem enthält. Das Fenster hält die y-Achse sichtbar, sodass Sie immer den y-Achsenabschnitt sehen. Reelle Wurzeln sind mit roten Punkten auf der x-Achse markiert. Der Scheitelpunkt ist mit einem orangen Diamanten markiert. Der y-Achsenabschnitt ist ein kleiner blauer Punkt auf der y-Achse.
Leichte Gitterlinien und Achsenbeschriftungen folgen demselben Nice-Step-Algorithmus (runde Zehnerpotenzen mit Vielfachen 1 / 2 / 5), den jede Plot-Bibliothek verwendet, sodass die Achsenbeschriftungen bei jeder Größenordnung lesbar bleiben.
a = 0Wenn Sie a auf Null setzen, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear:
bx + c = 0, deren eindeutige Lösung x = −c / b ist, wenn b ≠ 0.
Der Taschenrechner erkennt dies und zeigt die lineare Lösung an, anstatt zu fehlschlagen. Wenn sowohl a als auch b null sind, reduziert sich die Gleichung auf c = 0,
was keine Lösung hat, es sei denn, c selbst ist null (in diesem Fall ist jede reelle Zahl eine
„Lösung“). Die KPI-Beschriftung wechselt zu „Degeneriert (keine Quadratische)“, damit Sie wissen,
dass die Seite eine andere Art von Ergebnis rendert.
Die quadratische Gleichung ist eine der nützlichsten Identitäten in der Elementaralgebra.
Sie modelliert die Flugbahn eines Projektils unter Schwerkraft (y = −½gt² +
v₀t + h₀); die Fläche eines Rechtecks mit festem Umfang
(A = w(P/2 − w), eine Quadratische in w); den Break-Even-Punkt eines Unternehmens,
dessen Kosten linear wachsen und dessen Einnahmen linear wachsen, aber mit unterschiedlicher Steigung
(nach Umstellung); das Optimum eines beliebigen Prozesses, dessen Kosten oder Ertrag in der Nähe eines bekannten Betriebspunktes
ungefähr quadratisch sind; und die Algebra hinter zahllosen Geometrieaufgaben, die Abstand, Winkel und Fläche
betreffen.
Die quadratische Formel selbst reicht mindestens bis zu den Babyloniern zurück; die moderne Formulierung
folgt direkt aus dem Ergänzen des Quadrats von ax² + bx + c = 0. Wenn Sie sich jemals gefragt haben, woher
der Ausdruck −b / 2a im Scheitelpunkt stammt, ist das derselbe algebraische Schritt: Teilen Sie durch a,
verschieben Sie die Konstante auf die andere Seite, ergänzen Sie das Quadrat von x² + (b/a)x,
und die neue Konstante auf der linken Seite ist genau (b/2a)². Ziehen Sie sie wieder ab, und Sie haben die Standardform
a(x − vx)² + vy = 0, die dieselbe Parabel ist, geschrieben so, dass ihr Scheitelpunkt der Ursprung des lokalen
Koordinatensystems ist.
Der Taschenrechner löst eine einzelne quadratische Gleichung in einer Variablen. Für Gleichungssysteme, Polynomwurzeln höheren Grades oder symbolische Faktorisierungen schauen Sie sich den Rest des Mathekatalogs an oder verwenden Sie ein CAS.