Reichweite, maximale Höhe, Flugdauer, Aufprallgeschwindigkeit und -winkel mit vollständiger SVG-Flugbahn.
Vakuummodell: ignoriert Luftwiderstand, Magnus-Effekt und Coriolis-Effekt. Die Reichweite ist bei 45° auf flachem Boden maximal; bei einer nicht-null Anfangshöhe liegt der optimale Winkel unter 45°.
Die Projektilbewegung ist die kanonische Einführung in die zweidimensionale Kinematik in jedem einführenden Physik-Kurs: ein Körper, der schräg in ein homogenes Gravitationsfeld geschleudert wird, wobei der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Die Mathematik ist elegant — die Flugbahn ist eine Parabel, die Reichweite wird bei 45° auf ebenem Boden maximiert, und die Flugdauer ist rein geometrisch. Über den Physikunterricht hinaus liegen die gleichen Gleichungen dem Design von Wasserfontänen, der Biomechanik des Basketballwurfs, der Ballistik, der Planung von Feuerwerksdisplays und der Flugbahn eines geworfenen Frisbees zugrunde. Dieser Rechner löst das vollständige Problem (Reichweite, maximale Höhe, Flugdauer, Aufprallgeschwindigkeit, Aufprallwinkel), zeichnet die parabolische Flugbahn mit einer Auflösung von 80 Punkten mit Markierungen für den höchsten Punkt und den Aufprall und unterstützt eine beliebige Starthöhe — nützlich für die Modellierung von Würfen von Klippenrändern oder Basketballwürfen, bei denen der Ball nicht auf Bodenniveau startet.
Die Anfangsgeschwindigkeit wird in horizontale und vertikale Komponenten zerlegt: vₓ = v₀ · cos θ; vᵧ = v₀ · sin θ.
Zeit bis zum höchsten Punkt = vᵧ / g (die vertikale Geschwindigkeit nimmt unter dem Einfluss der Schwerkraft linear ab).
Maximale Höhe über dem Startpunkt = vᵧ² / (2 · g). Mit der Starthöhe h₀: maximalhöhe_gesamt = h₀ + vᵧ² / (2g).
Flugdauer (bis das Projektil bei y = 0 landet): Lösen Sie h₀ + vᵧ · t − ½ · g · t² = 0:
t_flug = (vᵧ + √(vᵧ² + 2 · g · h₀)) / g
Reichweite = vₓ · t_flug.
Aufprallgeschwindigkeitskomponenten: vᵢₓ = vₓ (kein horizontaler Luftwiderstand im Vakuum); vᵢᵧ = vᵧ − g · t_flight.
Aufprallgeschwindigkeit = √(vᵢₓ² + vᵢᵧ²).
Aufprallwinkel unterhalb der Horizontalen = atan(|vᵢᵧ| / vᵢₓ).
Das Diagramm tastet die Flugbahn an 80 Punkten ab, indem es y(t) = h₀ + vᵧ · t − ½ · g · t² verwendet, die Parabel rot zeichnet und den höchsten Punkt (Scheitelpunkt des Bogens) und den Aufprall (rechtes Ende) markiert. Die Y-Achsen-Polsterung fügt 10 % über dem höchsten Punkt und 5 % rechts vom Aufprall für visuelle Klarheit hinzu.
Geben Sie die Anfangsgeschwindigkeit in m/s ein (typisch 10–50 für geworfene Objekte, 200+ für abgefeuerte Projektile). Geben Sie den Startwinkel in Grad zur Horizontalen ein (0 = rein horizontal, 90 = senkrecht nach oben). Geben Sie die Starthöhe über dem Boden in Metern ein (0 für Starts auf Bodenniveau). Geben Sie die Schwerkraft ein (Standard 9,81 m/s² auf der Erde; verwenden Sie 1,62 für den Mond, 3,71 für den Mars). Das Ergebnispanel zeigt Reichweite, maximale Höhe, Flugdauer, Zeit bis zum höchsten Punkt, Aufprallgeschwindigkeit und Aufprallwinkel sowie die Flugbahnkurve.
Ein Baseball, der mit 25 m/s bei 45° aus einer Starthöhe von 1,5 m auf der Erde geworfen wird:
Ein Wasserstrahl mit 8 m/s, 70°:
Ein Basketballwurf aus 2,0 m Höhe mit 8 m/s, 50°: - vₓ = 5,14 m/s. vᵧ = 6,13 m/s. Flugdauer: 1,54 s. Reichweite: 7,94 m.
Luftwiderstand spielt eine Rolle ab ~ 30 m/s. Das Vakuummodell überschätzt die Reichweite um 5 % bei 50 m/s, um 30 % bei 200 m/s, um eine Größenordnung bei 800 m/s. Echte Ballistik erfordert ein Luftwiderstandsmodell.
Wind. Seitenwind bewegt den Aufprall horizontal; Gegen-/Rückenwind verkürzt oder verlängert die Reichweite. Nicht modelliert.
Spin und Magnus-Effekt. Ein rotierender Baseball krümmt sich aufgrund der Magnus-Kraft; ein Topspin-Tennisball fällt schneller ab als ein flacher. Nicht modelliert.
Corioliskraft bei großen Reichweiten. Die Erdrotation lenkt Projektile messbar über ~ 1 km Reichweite ab. Vernachlässigbar im Sportmaßstab, entscheidend für Artillerie.
Starthöhe beeinflusst den optimalen Winkel. Die 45°-Regel gilt für Starts vom Bodenniveau. Bei h₀ > 0 ist der optimale Winkel für maximale Reichweite unter 45° (ungefähr 45° − arctan(h₀ / Reichweitenschätzung) / 2). Der Rechner ermöglicht die Eingabe beider Werte, und Sie können den Winkel durchsuchen, um das Optimum zu finden.
Variable Schwerkraft. g variiert um 0,5 % zwischen Äquator und Pol und nach Höhe. Für alltägliche Probleme ist g = 9,81 in Ordnung.
Abhängigkeit von der aerodynamischen Form. Ein Speer und eine Kugel verhalten sich aufgrund von Luftwiderstand und Auftrieb sehr unterschiedlich. Der Rechner behandelt alle Projektile als kugelförmig ohne Luftwiderstand.
Erdkrümmung. Bei Reichweiten über ~ 30 km krümmt sich die Erde unter dem Projektil weg, was die effektive Reichweite verlängert. Im Sportmaßstab vernachlässigbar.
Winkelkonventionen. Der Rechner verwendet Grad von der Horizontalen. Einige Lehrbücher verwenden Grad von der Vertikalen (Zenitwinkel) — konvertieren Sie bei Bedarf.
Negative Starthöhen. Der Rechner unterstützt h₀ ≥ 0 (oberhalb des Bodens). Unterirdische Starts (ein geworfener Ball, der in eine Grube fällt) erfordern eine Erweiterung der Formel.
Energie beim Aufprall. Kinetische Energie beim Aufprall = ½ · m · v_aufprall² — nützlich für die Bemessung von Landeschäden. Der Rechner berechnet die Energie nicht (Masse nicht eingegeben).