Alcance, altura máxima, tiempo de vuelo, velocidad y ángulo de impacto, con trayectoria SVG completa.
Modelo de vacío: ignora la resistencia del aire, el efecto Magnus y Coriolis. El alcance se maximiza a 45° en terreno plano; con una altura de lanzamiento distinta de cero, el ángulo óptimo está por debajo de 45°.
El movimiento de proyectiles es la introducción canónica a la cinemática bidimensional en todos los cursos de física introductoria: un cuerpo lanzado en ángulo en un campo gravitatorio uniforme, ignorando la resistencia del aire. Las matemáticas son elegantes: la trayectoria es una parábola, el alcance se maximiza a 45° en terreno llano y el tiempo de vuelo es puramente geométrico. Más allá de la clase de física, las mismas ecuaciones subyacen en el diseño de fuentes de agua, la biomecánica de lanzar baloncesto, la balística, la planificación de exhibiciones de fuegos artificiales y la trayectoria de un disco volador lanzado. Esta calculadora resuelve el problema completo (alcance, altura máxima, tiempo de vuelo, velocidad de impacto, ángulo de impacto), dibuja la trayectoria parabólica con una resolución de 80 puntos con marcadores de pico e impacto, y admite una altura de lanzamiento arbitraria, útil para modelar lanzamientos desde acantilados o tiros de baloncesto donde la pelota no comienza a nivel del suelo.
La velocidad inicial se descompone en componentes horizontal y vertical: vₓ = v₀ · cos θ; vᵧ = v₀ · sin θ.
Tiempo hasta el pico = vᵧ / g (la velocidad vertical decae linealmente bajo la gravedad).
Altura máxima sobre el lanzamiento = vᵧ² / (2 · g). Con altura de lanzamiento h₀: peak_total = h₀ + vᵧ² / (2g).
Tiempo de vuelo (hasta que el proyectil aterriza en y = 0): resolver h₀ + vᵧ · t − ½ · g · t² = 0:
t_flight = (vᵧ + √(vᵧ² + 2 · g · h₀)) / g
Alcance = vₓ · t_flight.
Componentes de la velocidad de impacto: vᵢₓ = vₓ (sin resistencia horizontal en el vacío); vᵢᵧ = vᵧ − g · t_flight.
Velocidad de impacto = √(vᵢₓ² + vᵢᵧ²).
Ángulo de impacto por debajo de la horizontal = atan(|vᵢᵧ| / vᵢₓ).
El gráfico toma muestras de la trayectoria en 80 puntos usando y(t) = h₀ + vᵧ · t − ½ · g · t², dibuja la parábola en rojo y marca el pico (parte superior del arco) y el impacto (extremo derecho). El relleno del eje Y añade un 10 % por encima del pico y un 5 % a la derecha del impacto para claridad visual.
Introduzca la velocidad inicial en m/s (típicamente 10–50 para objetos lanzados, 200+ para proyectiles disparados). Introduzca el ángulo de lanzamiento en grados desde la horizontal (0 = puramente horizontal, 90 = directo hacia arriba). Introduzca la altura de lanzamiento sobre el suelo en metros (0 para lanzamientos a nivel del suelo). Introduzca la gravedad (por defecto 9.81 m/s² en la Tierra; use 1.62 para la Luna, 3.71 para Marte). El panel de resultados muestra el alcance, la altura máxima, el tiempo de vuelo, el tiempo hasta el pico, la velocidad de impacto y el ángulo de impacto, además de la curva de trayectoria.
Una pelota de béisbol lanzada a 25 m/s a 45° desde una altura de lanzamiento de 1.5 m en la Tierra:
Un chorro de fuente de agua a 8 m/s, 70°:
Un tiro de baloncesto desde 2.0 m de altura a 8 m/s, 50°: - vₓ = 5.14 m/s. vᵧ = 6.13 m/s. Tiempo de vuelo: 1.54 s. Alcance: 7.94 m.
La resistencia del aire importa a más de ~ 30 m/s. El modelo de vacío sobreestima el alcance en un 5 % a 50 m/s, en un 30 % a 200 m/s, en un orden de magnitud a 800 m/s. La balística real necesita un modelo de resistencia.
Viento. El viento cruzado mueve el impacto horizontalmente; el viento de cara/cola acorta o alarga el alcance. No modelado.
Giro y efecto Magnus. Una pelota de béisbol giratoria se curva debido a la fuerza de Magnus; una pelota de tenis con efecto superior cae más rápido que una plana. No modelado.
Fuerza de Coriolis a largo alcance. La rotación de la Tierra desvía los proyectiles de forma medible a más de ~1 km de alcance. Despreciable en deportes, crítico para artillería.
La altura de lanzamiento afecta el ángulo óptimo. La regla de 45° es para lanzamientos desde el nivel del suelo. Con h₀ > 0, el ángulo óptimo para el alcance máximo está por debajo de 45° (aproximadamente 45° - arctan(h₀ / rango_estimado) / 2). La calculadora le permite introducir ambos, y puede barrer el ángulo para encontrar el óptimo.
Gravedad variable. g varía un 0.5 % entre el ecuador y el polo, y según la altitud. Para problemas cotidianos, g = 9.81 está bien.
Dependencia de la forma aerodinámica. Una jabalina y una bala de cañón se comportan muy diferente debido a la resistencia y la sustentación. La calculadora trata a todos los proyectiles como esféricos sin resistencia.
Curvatura de la Tierra. Para alcances mayores a ~30 km, la Tierra se curva por debajo del proyectil, extendiendo el alcance efectivo. Despreciable a escala deportiva.
Convenciones de ángulos. La calculadora usa grados desde la horizontal. Algunos libros de texto usan grados desde la vertical (ángulo cenital): convierta si es necesario.
Alturas de lanzamiento negativas. La calculadora admite h₀ ≥ 0 (por encima del suelo). Los lanzamientos por debajo del suelo (una pelota lanzada que cae en un hoyo) requieren extender la fórmula.
Energía al impacto. Energía cinética de impacto = ½ · m · v_impact² — útil para dimensionar el daño del aterrizaje. La calculadora no calcula la energía (no se introduce la masa).