Período y frecuencia del péndulo simple en la Tierra o cualquier planeta, con corrección de amplitud.
Aproximación de ángulo pequeño: T = 2π√(L/g). El valor corregido añade el término estándar de la serie θ²/16 y es preciso para amplitudes de hasta ~30°.
El péndulo simple es el oscilador mecánico canónico: una masa puntual en una cuerda sin masa, que oscila bajo la gravedad. Su período —el tiempo para un columpio completo de ida y vuelta— depende únicamente de la longitud de la cuerda y de la aceleración gravitatoria local, y es famosamente independiente de la masa de la lenteja. Ese hecho contraintuitivo, confirmado por primera vez por Galileo, impulsó el diseño de relojes de péndulo durante trescientos años; todavía se utiliza en demostraciones de física para introducir el movimiento armónico simple, en geofísica para estimar la 'g' local y en ingeniería para dimensionar péndulos estructurales para amortiguar rascacielos. La misma maquinaria subyace en los metrónomos, los péndulos de Foucault en los museos de ciencia y el columpio de un niño en un parque infantil.
La fórmula estándar para ángulos pequeños T = 2π√(L/g) se enseña en todas las clases de física introductoria, pero conlleva una suposición implícita: que la amplitud es pequeña (menos de 10°). Más allá de eso, el período aumenta de forma no lineal con la amplitud, y la fórmula de ángulos pequeños lo subestima. Esta calculadora proporciona tanto el período de ángulos pequeños como un período corregido por amplitud utilizando la expansión en serie estándar, para que pueda ver la divergencia. También le permite cambiar la gravedad preestablecida a la Luna, Marte o cualquier otro planeta, lo que resulta útil para problemas de clase de física.
Para un péndulo simple de longitud L (medida hasta el centro de masa de la lenteja) bajo la gravedad g, el período de ángulos pequeños es:
T = 2π · √(L / g)
La frecuencia f = 1 / T (Hz) y la frecuencia angular ω = √(g / L) (rad/s) son corolarios directos.
Para amplitudes finitas θ₀, el período exacto implica una integral elíptica completa de primera especie. La aproximación estándar en serie hasta cuarto orden en θ₀ es:
T_corr = T_small · (1 + θ₀² / 16 + 11 · θ₀⁴ / 3072 + …)
con θ₀ en radianes. A θ₀ = 30° (= 0.524 rad), la corrección es del +1.74 %; a θ₀ = 60° es del +7.3 %; a θ₀ = 90° es del +18 %. La serie falla más allá de ~80°.
Gravedad por planeta: g = 9.81 m/s² en la Tierra, 1.62 en la Luna, 3.71 en Marte, 3.70 en Mercurio, 8.87 en Venus, 24.79 en Júpiter, 10.44 en Saturno (cúspide de nubes).
Introduzca la longitud L del péndulo en metros (típicamente 0.5–1.5 m para un péndulo de reloj, 67 m para el péndulo de Foucault en el Panteón). Elija un planeta preestablecido para autocompletar la gravedad, o elija "personalizado" e introduzca su propia g. Introduzca la amplitud en grados (típicamente 5° para un reloj, 10°–30° para demostraciones prácticas, menores para una medición precisa del tiempo). El panel de resultados muestra el período corregido como encabezado, además del período de ángulos pequeños (sin corrección de amplitud), la frecuencia, la frecuencia angular y la gravedad utilizada. El gráfico representa el desplazamiento angular como una sinusoide durante dos períodos completos para que pueda ver el columpio visualmente.
Péndulo estándar de un metro en la Tierra, amplitud de 5°.
Péndulo de Foucault (L = 67 m en la Tierra, 3°):
Mismo péndulo de un metro en la Luna (g = 1.62):
La longitud es hasta el centro de masa, no hasta el punto de anclaje. Para una lenteja pesada en una cuerda delgada, la diferencia es pequeña. Para una regla de madera que oscila sobre un pasador (un "péndulo físico"), la longitud relevante es L_cm —la distancia al centro de masa— y la fórmula necesita el radio de giro. Use la variante de péndulo físico.
Resistencia del aire y masa de la cuerda. El péndulo simple asume que no hay resistencia del aire, ni masa en la cuerda, ni flexión. Los péndulos reales se amortiguan; el período aumenta ~0.1 % por cada 1 % de pérdida de energía por columpio (pequeño en la práctica para una lenteja pesada).
Temperatura y longitud. Las varillas metálicas del péndulo se expanden con la temperatura. Para un reloj de precisión, un cambio de temperatura de 1 °C es un cambio relativo de longitud de 1.2 × 10⁻⁵, o aproximadamente 0.5 s por día. Los péndulos compensados (Riefler, Invar) reducen esto.
La 'g' local varía. A nivel del mar, g es 9.81 m/s² ± 0.05 dependiendo de la latitud (9.78 en el ecuador, 9.83 en los polos). La altitud reduce aún más g en ~3 × 10⁻⁶ por metro. Los viejos relojes de péndulo se calibraban a la gravedad local; moverlos cambiaba su ritmo.
Descomposición de la isocronía a gran amplitud. La "isocronía" del péndulo (mismo período independientemente de la amplitud) solo es cierta para ángulos pequeños. A amplitudes de 30°+, el período cambia mediblemente con la amplitud — los primeros relojeros lucharon con esto, lo que llevó a Huygens a inventar la mejilla cicloidal para forzar la isocronía geométricamente.
Péndulo accionado. Un péndulo mantenido en movimiento por un escape ya no es un oscilador libre — el período depende del mecanismo de impulso. Los péndulos de reloj reales mantienen mejor la hora que los péndulos libres porque el escape los vuelve a fijar.
Péndulos acoplados. Dos péndulos de período similar montados en el mismo soporte flexible intercambian energía y se desfasan y desfasan (la "simpatía de los relojes" de Huygens). El modelo simple falla para sistemas acoplados.
Péndulo invertido. El péndulo colgado hacia arriba de un pivote tiene período imaginario — es inestable. Estabilizarlo (Segway, cohete, balance de robot) es un problema clásico de teoría de control.
Amortiguamiento. Los péndulos reales pierden energía por fricción; la fórmula de ángulos pequeños asume que no hay. Con amortiguamiento, las oscilaciones decaen exponencialmente; el período cambia menos del 1 % hasta que el amortiguamiento es severo.