Período e frequência de pêndulo simples na Terra ou em qualquer planeta, com correção de amplitude.
Aproximação de pequeno ângulo: T = 2π√(L/g). O valor corrigido adiciona o termo padrão da série θ²/16 e é preciso para amplitudes de até ~30°.
O pêndulo simples é o oscilador mecânico canónico: uma massa pontual numa corda sem massa, a oscilar sob a ação da gravidade. O seu período — o tempo para uma oscilação completa de ida e volta — depende apenas do comprimento da corda e da aceleração gravitacional local, e é notoriamente independente da massa do pêndulo. Esse facto contraintuitivo, estabelecido pela primeira vez por Galileu, impulsionou o design de relógios de pêndulo durante trezentos anos; ainda é usado em demonstrações de física para introduzir movimento harmónico simples, em geofísica para estimar g local e em engenharia para dimensionar pêndulos estruturais para amortecimento de arranha-céus. A mesma maquinaria subjaz aos metrônomos, pêndulos de Foucault em museus de ciência e ao balanço de um pêndulo de parque infantil.
A fórmula padrão de pequeno ângulo T = 2π√(L/g) é ensinada em todas as aulas introdutórias de física, mas acarreta uma suposição implícita — que a amplitude é pequena (inferior a 10°). Para além disso, o período cresce não linearmente com a amplitude, e a fórmula de pequeno ângulo subestima-o. Este calculador fornece tanto o período de pequeno ângulo como um período corrigido pela amplitude usando a expansão em série padrão, para que possa ver a divergência. Permite também trocar a configuração de gravidade pela da Lua, Marte, ou qualquer outro planeta — útil para problemas de física escolar.
Para um pêndulo simples de comprimento L (medido ao centro de massa do pêndulo) sob gravidade g, o período de pequeno ângulo é:
T = 2π · √(L / g)
A frequência f = 1 / T (Hz) e a frequência angular ω = √(g / L) (rad/s) são corolários diretos.
Para amplitudes finitas θ₀, o período exato envolve uma integral elíptica completa de primeira espécie. A aproximação em série padrão até quarta ordem em θ₀ é:
T_corr = T_small · (1 + θ₀² / 16 + 11 · θ₀⁴ / 3072 + …)
com θ₀ em radianos. Em θ₀ = 30° (= 0,524 rad), a correção é de +1,74 %; em θ₀ = 60° é de +7,3 %; em θ₀ = 90° é de +18 %. A série falha após ~80°.
Gravidade por planeta: g = 9,81 m/s² na Terra, 1,62 na Lua, 3,71 em Marte, 3,70 em Mercúrio, 8,87 em Vénus, 24,79 em Júpiter, 10,44 em Saturno (topo das nuvens).
Insira o comprimento L do pêndulo em metros (típico 0,5–1,5 m para um pêndulo de relógio, 67 m para o pêndulo de Foucault no Panteão). Escolha um planeta pré-definido para preencher automaticamente a gravidade, ou escolha "personalizado" e insira o seu próprio g. Insira a amplitude em graus (típico 5° para um relógio, 10°–30° para demonstrações práticas, menor para marcação precisa do tempo). O painel de resultados mostra o período corrigido como título principal, mais o período de pequeno ângulo (sem correção de amplitude), a frequência, a frequência angular e a gravidade utilizada. O gráfico traça o deslocamento angular como uma senoide ao longo de dois períodos completos para que possa ver o balanço visualmente.
Pêndulo de um metro padrão na Terra, amplitude de 5°.
Pêndulo de Foucault (L = 67 m na Terra, 3°):
Mesmo pêndulo de um metro na Lua (g = 1,62):
O comprimento é até ao centro de massa, não até ao ponto de fixação. Para um pêndulo pesado numa corda fina, a diferença é pequena. Para uma régua de madeira a oscilar num pino (um "pêndulo físico"), o comprimento relevante é L_cm — a distância ao centro de massa — e a fórmula necessita do raio de inércia. Use a variante do pêndulo físico.
Arrasto do ar e massa da corda. O pêndulo simples assume ausência de arrasto do ar, massa da corda e flexibilidade. Pêndulos reais amortecem; o período aumenta em ~0,1 % por percentagem de perda de energia por oscilação (pequeno na prática para um pêndulo pesado).
Temperatura e comprimento. Hastes de pêndulo de metal expandem com a temperatura. Para um relógio de precisão, uma mudança de temperatura de 1 °C é uma mudança relativa de comprimento de 1,2 × 10⁻⁵, ou cerca de 0,5 s por dia. Pêndulos compensados (Riefler, invar) reduzem isto.
g local varia. Ao nível do mar, g é 9,81 m/s² ± 0,05 dependendo da latitude (9,78 no equador, 9,83 nos polos). A altitude reduz ainda mais g em ~3 × 10⁻⁶ por metro. Relógios de pêndulo antigos eram calibrados para a gravidade local; movê-los alterava a sua taxa.
Quebra da isocronia de grande amplitude. A "isocronia" do pêndulo (mesmo período independentemente da amplitude) só é verdadeira para ângulos pequenos. Em amplitudes de 30°+, o período muda mensuravelmente com a amplitude — os primeiros relojoeiros lutaram com isto, levando Huygens a inventar a bochecha ciclóide para impor a isocronia geometricamente.
Pêndulo acionado. Um pêndulo mantido a oscilar por um escape não é mais um oscilador livre — o período depende do mecanismo de impulso. Pêndulos de relógio reais mantêm o tempo melhor do que pêndulos livres porque o escape os reinicia.
Pêndulos acoplados. Dois pêndulos de período semelhante montados no mesmo suporte flexível trocam energia e desviam-se dentro e fora de fase ("simpatia dos relógios" de Huygens). O modelo simples falha para sistemas acoplados.
Pêndulo invertido. O pêndulo a pendurar para cima de um pivô tem período imaginário — é instável. Estabilizá-lo (Segway, foguetão, equilíbrio de robô) é um problema clássico de teoria de controlo.
Amortecimento. Pêndulos reais perdem energia para o atrito; a fórmula de pequeno ângulo assume nenhum. Com amortecimento, as oscilações decaem exponencialmente; o período muda em menos de 1 % até o amortecimento ser severo.