Periodendauer und Frequenz eines einfachen Pendels auf der Erde oder jedem anderen Planeten, mit Amplitudenkorrektur.
Kleinwinkelnäherung: T = 2π√(L/g). Der korrigierte Wert fügt den Standardterm der θ²/16-Reihe hinzu und ist für Amplituden bis ca. 30° genau.
Das einfache Pendel ist der kanonische mechanische Oszillator: eine Punktmasse an einer masselosen Schnur, die unter Schwerkraft schwingt. Seine Periode – die Zeit für eine volle Hin- und Herschwingung – hängt nur von der Länge der Schnur und der lokalen Erdbeschleunigung ab und ist bekanntlich unabhängig von der Masse der Pendelmasse. Diese kontraintuitive Tatsache, die zuerst von Galileo Galilei festgestellt wurde, prägte das Design von Pendeluhren für dreihundert Jahre; sie wird immer noch in Physikdemonstrationen zur Einführung der einfachen harmonischen Bewegung, in der Geophysik zur Schätzung der lokalen Beschleunigung g und im Ingenieurwesen zur Dimensionierung von strukturellen Pendeln zur Dämpfung von Wolkenkratzern verwendet. Dieselbe Mechanik liegt Metronomen, Foucaultschen Pendeln in Wissenschaftsmuseen und dem Schwingen einer Kinderschaukel zugrunde.
Die Standardformel für kleine Winkel T = 2π√(L/g) wird in jedem Einführungskurs der Physik gelehrt, aber sie birgt eine implizite Annahme – dass die Amplitude klein ist (unter 10°). Darüber hinaus wächst die Periode nichtlinear mit der Amplitude, und die Formel für kleine Winkel unterschätzt sie. Dieser Rechner liefert sowohl die Periode für kleine Winkel als auch eine um die Amplitude korrigierte Periode unter Verwendung der Standardreihenentwicklung, sodass Sie die Abweichung erkennen können. Er ermöglicht es Ihnen auch, die voreingestellte Schwerkraft für den Mond, den Mars oder jeden anderen Planeten auszuwählen – praktisch für Physikaufgaben.
Für ein einfaches Pendel der Länge L (gemessen zum Schwerpunkt der Masse) unter der Schwerkraft g ist die Periode für kleine Winkel:
T = 2π · √(L / g)
Die Frequenz f = 1 / T (Hz) und die Kreisfrequenz ω = √(g / L) (rad/s) sind direkte Folgerungen.
Für endliche Amplituden θ₀ beinhaltet die exakte Periode ein vollständiges elliptisches Integral erster Gattung. Die Standardreihennäherung bis zur vierten Ordnung in θ₀ lautet:
T_corr = T_small · (1 + θ₀² / 16 + 11 · θ₀⁴ / 3072 + …)
mit θ₀ in Radiant. Bei θ₀ = 30° (= 0,524 rad) beträgt die Korrektur +1,74 %; bei θ₀ = 60° beträgt sie +7,3 %; bei θ₀ = 90° beträgt sie +18 %. Die Reihe bricht nach ~80° zusammen.
Schwerkraft nach Planet: g = 9,81 m/s² auf der Erde, 1,62 auf dem Mond, 3,71 auf dem Mars, 3,70 auf Merkur, 8,87 auf der Venus, 24,79 auf Jupiter, 10,44 auf Saturn (Wolkenobergrenze).
Geben Sie die Länge L des Pendels in Metern ein (typisch 0,5–1,5 m für ein Pendeluhrwerk, 67 m für das Foucaultsche Pendel im Panthéon). Wählen Sie einen Planeten aus den Voreinstellungen, um die Schwerkraft automatisch zu füllen, oder wählen Sie "Benutzerdefiniert" und geben Sie Ihre eigene g ein. Geben Sie die Amplitude in Grad ein (typisch 5° für eine Uhr, 10°–30° für praktische Demonstrationen, kleiner für präzise Zeitmessung). Das Ergebnis-Panel zeigt die korrigierte Periode als Überschrift, plus die Periode für kleine Winkel (keine Amplitudenkorrektur), die Frequenz, die Kreisfrequenz und die verwendete Schwerkraft. Das Diagramm plottet die Winkelverschiebung als Sinusoid über zwei volle Perioden, damit Sie die Schwingung visuell erkennen können.
Standard-Einfachpendel von einem Meter auf der Erde, 5° Amplitude.
Foucaultsches Pendel (L = 67 m auf der Erde, 3°):
Das gleiche Ein-Meter-Pendel auf dem Mond (g = 1,62):
Die Länge bezieht sich auf den Schwerpunkt, nicht auf den Aufhängepunkt. Bei einer schweren Masse an einer dünnen Schnur ist der Unterschied gering. Bei einem Holzlineal, das an einem Stift schwingt (ein "physikalisches Pendel"), ist die relevante Länge L_cm – die Entfernung zum Schwerpunkt – und die Formel benötigt den Trägheitsradius. Verwenden Sie die Variante physikalisches Pendel.
Luftwiderstand und Schnurmassen. Das einfache Pendel setzt keinen Luftwiderstand, keine Schnurmassen und keine Flexibilität voraus. Reale Pendel dämpfen; die Periode steigt um etwa 0,1 % pro Prozent Energieverlust pro Schwingung (in der Praxis gering für schwere Massen).
Temperatur und Länge. Metallpendelstangen dehnen sich mit der Temperatur aus. Bei einer Präzisionsuhr entspricht eine Temperaturänderung von 1 °C einer relativen Längenänderung von 1,2 × 10⁻⁵ oder etwa 0,5 s pro Tag. Kompensierte Pendel (Riefler, Invar) reduzieren dies.
Lokale g-Werte variieren. Auf Meereshöhe beträgt g 9,81 m/s² ± 0,05 je nach Breitengrad (9,78 am Äquator, 9,83 an den Polen). Die Höhe reduziert g weiter um ~3 × 10⁻⁶ pro Meter. Alte Pendeluhren wurden an die lokale Schwerkraft angepasst; ihre Versetzung änderte ihre Ganggeschwindigkeit.
Fehlende Isochronie bei großen Amplituden. Die "Isochronie" des Pendels (gleiche Periode unabhängig von der Amplitude) gilt nur für kleine Winkel. Bei Amplituden von 30°+ ändert sich die Periode messbar mit der Amplitude – frühe Uhrmacher hatten damit zu kämpfen, was Huygens dazu veranlasste, die zykloidale Wange zu erfinden, um die Isochronie geometrisch zu erzwingen.
Angetriebenes Pendel. Ein Pendel, das durch eine Hemmung in Schwung gehalten wird, ist kein freier Oszillator mehr – die Periode hängt vom Impulsmechanismus ab. Echte Uhrenpendel gehen besser als freie Pendel, da die Hemmung sie neu verriegelt.
Gekoppelte Pendel. Zwei Pendel mit ähnlicher Periode, die auf demselben flexiblen Träger montiert sind, tauschen Energie aus und gehen in und aus der Phase (Huygens' "Sympathie der Uhren"). Das einfache Modell versagt bei gekoppelten Systemen.
Umgekehrtes Pendel. Das nach oben von einem Drehzapfen hängende Pendel hat eine imaginäre Periode – es ist instabil. Seine Stabilisierung (Segway, Rakete, Roboterbalance) ist ein klassisches Problem der Regelungstechnik.
Dämpfung. Reale Pendel verlieren Energie durch Reibung; die Formel für kleine Winkel setzt keine Dämpfung voraus. Bei Dämpfung klingen Schwingungen exponentiell ab; die Periode ändert sich um weniger als 1 %, bis die Dämpfung stark wird.