Période et fréquence d'un pendule simple sur Terre ou autre planète, avec correction d'amplitude.
Approximation du petit angle : T = 2π√(L/g). La valeur corrigée ajoute le terme standard de la série θ²/16 et est précise pour des amplitudes allant jusqu'à environ 30°.
Le pendule simple est l'oscillateur mécanique canonique : une masse ponctuelle suspendue à une corde sans masse, oscillant sous l'effet de la gravité. Sa période — le temps d'un aller-retour complet — ne dépend que de la longueur de la corde et de l'accélération gravitationnelle locale, et est célèbre pour être indépendante de la masse de la lentille. Ce fait contre-intuitif, établi pour la première fois par Galilée, a guidé la conception des horloges à pendule pendant trois cents ans ; il est encore utilisé dans les démonstrations de physique pour introduire le mouvement harmonique simple, en géophysique pour estimer le g local, et en ingénierie pour dimensionner les pendules structurels pour l'amortissement des gratte-ciel. La même mécanique sous-tend les métronomes, les pendules de Foucault dans les musées scientifiques, et le balancement d'une balançoire d'enfant.
La formule standard pour les petits angles T = 2π√(L/g) est enseignée dans tous les cours d'introduction à la physique, mais elle comporte une hypothèse implicite — que l'amplitude est faible (inférieure à 10°). Au-delà, la période augmente de manière non linéaire avec l'amplitude, et la formule des petits angles la sous-estime. Ce calculateur fournit à la fois la période des petits angles et une période corrigée en fonction de l'amplitude en utilisant le développement en série standard, afin que vous puissiez observer la divergence. Il vous permet également d'échanger le réglage de gravité pour la Lune, Mars ou toute autre planète — pratique pour les problèmes de cours de physique.
Pour un pendule simple de longueur L (mesurée au centre de masse de la lentille) sous une gravité g, la période des petits angles est :
T = 2π · √(L / g)
La fréquence f = 1 / T (Hz) et la fréquence angulaire ω = √(g / L) (rad/s) en sont des corollaires directs.
Pour des amplitudes finies θ₀, la période exacte implique une intégrale elliptique complète de première espèce. L'approximation en série standard jusqu'au quatrième ordre en θ₀ est :
T_corr = T_small · (1 + θ₀² / 16 + 11 · θ₀⁴ / 3072 + …)
avec θ₀ en radians. À θ₀ = 30° (= 0,524 rad), la correction est de +1,74 % ; à θ₀ = 60°, elle est de +7,3 % ; à θ₀ = 90°, elle est de +18 %. La série diverge au-delà d'environ 80°.
Gravité par planète : g = 9,81 m/s² sur Terre, 1,62 sur la Lune, 3,71 sur Mars, 3,70 sur Mercure, 8,87 sur Vénus, 24,79 sur Jupiter, 10,44 sur Saturne (haut des nuages).
Entrez la longueur L du pendule en mètres (typiquement 0,5–1,5 m pour un pendule d'horloge, 67 m pour le pendule de Foucault au Panthéon). Choisissez un réglage de planète pour pré-remplir la gravité, ou choisissez "personnalisé" et entrez votre propre g. Entrez l'amplitude en degrés (typiquement 5° pour une horloge, 10°–30° pour des démonstrations pratiques, moins pour un chronométrage précis). Le panneau de résultats affiche la période corrigée comme titre, plus la période des petits angles (aucune correction d'amplitude), la fréquence, la fréquence angulaire et la gravité utilisée. Le graphique trace le déplacement angulaire comme une sinusoïde sur deux périodes complètes pour que vous puissiez voir le mouvement visuellement.
Pendule d'un mètre standard sur Terre, amplitude de 5°.
Pendule de Foucault (L = 67 m sur Terre, 3°) :
Même pendule d'un mètre sur la Lune (g = 1,62) :
La longueur est mesurée au centre de masse, pas au point d'attache. Pour une lentille lourde sur une ficelle mince, la différence est faible. Pour une règle en bois oscillant sur une broche (un "pendule physique"), la longueur pertinente est L_cm — la distance au centre de masse — et la formule nécessite le rayon de giration. Utilisez la variante pendule physique.
Traînée de l'air et masse de la corde. Le pendule simple suppose aucune traînée de l'air, aucune masse de corde, aucune flexion. Les pendules réels s'amortissent ; la période augmente d'environ 0,1 % par pourcentage de perte d'énergie par oscillation (faible en pratique pour une lentille lourde).
Température et longueur. Les tiges de pendule en métal se dilatent avec la température. Pour une horloge de précision, un changement de température de 1 °C correspond à un changement de longueur relatif de 1,2 × 10⁻⁵, soit environ 0,5 s par jour. Les pendules compensés (Riefler, invar) réduisent cela.
Le g local varie. Au niveau de la mer, g est de 9,81 m/s² ± 0,05 selon la latitude (9,78 à l'équateur, 9,83 aux pôles). L'altitude réduit encore g d'environ 3 × 10⁻⁶ par mètre. Les vieilles horloges à pendule étaient calibrées à la gravité locale ; les déplacer changeait leur rythme.
Rupture de l'isochronisme à grande amplitude. L'"isochronisme" du pendule (même période indépendamment de l'amplitude) n'est vrai que pour les petits angles. À une amplitude de 30°+, la période change de manière mesurable avec l'amplitude — les premiers horlogers ont lutté avec cela, conduisant Huygens à inventer la joue cycloïdale pour imposer l'isochronisme géométriquement.
Pendule forcé. Un pendule maintenu en oscillation par un échappement n'est plus un oscillateur libre — la période dépend du mécanisme d'impulsion. Les pendules d'horloge réels gardent mieux le temps que les pendules libres car l'échappement les ré-enclenche.
Pendules couplés. Deux pendules de période similaire montés sur le même support flexible échangent de l'énergie et dérivent en phase et hors phase (la "sympathie des horloges" de Huygens). Le modèle simple ne s'applique pas aux systèmes couplés.
Pendule inversé. Le pendule pendant vers le haut à partir d'un pivot a une période imaginaire — il est instable. Le stabiliser (Segway, fusée, équilibre robotique) est un problème classique de théorie du contrôle.
Amortissement. Les pendules réels perdent de l'énergie par frottement ; la formule des petits angles n'en suppose aucun. Avec l'amortissement, les oscillations décroissent exponentiellement ; la période change de moins de 1 % jusqu'à ce que l'amortissement soit sévère.