Periodo e frequenza del pendolo semplice sulla Terra o su qualsiasi pianeta, con correzione dell'ampiezza.
Approssimazione per piccoli angoli: T = 2π√(L/g). Il valore corretto aggiunge il termine standard della serie θ²/16 ed è accurato per ampiezze fino a circa 30°.
Il pendolo semplice è l'oscillatore meccanico canonico: una massa puntiforme su una corda inestensibile e di massa trascurabile, oscillante sotto l'effetto della gravità. Il suo periodo — il tempo per un'oscillazione completa avanti e indietro — dipende solo dalla lunghezza della corda e dall'accelerazione gravitazionale locale, ed è notoriamente indipendente dalla massa del peso. Questo fatto controintuitivo, per primo dimostrato da Galileo, ha guidato la progettazione degli orologi a pendolo per trecento anni; è ancora utilizzato nelle dimostrazioni di fisica per introdurre il moto armonico semplice, in geofisica per stimare il valore locale di g, e in ingegneria per dimensionare pendoli strutturali per lo smorzamento dei grattacieli. La stessa meccanica è alla base dei metronomi, dei pendoli di Foucault nei musei scientifici e dell'altalena di un parco giochi per bambini.
La formula standard per piccoli angoli T = 2π√(L/g) viene insegnata in ogni corso introduttivo di fisica, ma essa porta con sé un'assunzione implicita: che l'ampiezza sia piccola (inferiore a 10°). Oltre questa soglia, il periodo cresce in modo non lineare con l'ampiezza, e la formula per piccoli angoli la sottostima. Questo calcolatore fornisce sia il periodo per piccoli angoli sia un periodo corretto per l'ampiezza usando la serie di Taylor standard, in modo da poter osservare la divergenza. Permette inoltre di sostituire la gravità preimpostata per la Luna, Marte o qualsiasi altro pianeta — utile per problemi di fisica scolastica.
Per un pendolo semplice di lunghezza L (misurata al centro di massa del peso) sotto gravità g, il periodo per piccoli angoli è:
T = 2π · √(L / g)
La frequenza f = 1 / T (Hz) e la frequenza angolare ω = √(g / L) (rad/s) sono corollari diretti.
Per ampiezze finite θ₀, il periodo esatto coinvolge un integrale ellittico completo del primo tipo. L'approssimazione di Taylor standard fino al quarto ordine in θ₀ è:
T_corr = T_small · (1 + θ₀² / 16 + 11 · θ₀⁴ / 3072 + …)
con θ₀ in radianti. A θ₀ = 30° (= 0.524 rad), la correzione è del +1,74%; a θ₀ = 60° è del +7,3%; a θ₀ = 90° è del +18%. La serie non è più valida oltre circa 80°.
Gravità per pianeta: g = 9,81 m/s² sulla Terra, 1,62 sulla Luna, 3,71 su Marte, 3,70 su Mercurio, 8,87 su Venere, 24,79 su Giove, 10,44 su Saturno (livello delle nubi).
Inserire la lunghezza L del pendolo in metri (tipicamente 0,5–1,5 m per un pendolo di orologio, 67 m per il pendolo di Foucault al Pantheon). Scegliere un pianeta preimpostato per riempire automaticamente la gravità, oppure scegliere "personalizzato" e inserire il proprio valore di g. Inserire l'ampiezza in gradi (tipica 5° per un orologio, 10°–30° per dimostrazioni pratiche, minore per una cronometraggio preciso). Il pannello dei risultati mostra il periodo corretto come titolo principale, più il periodo per piccoli angoli (senza correzione per ampiezza), la frequenza, la frequenza angolare e la gravità utilizzata. Il grafico traccia lo spostamento angolare come una sinusoide su due periodi completi, in modo da poter visualizzare l'oscillazione.
Pendolo standard di un metro sulla Terra, ampiezza di 5°.
Pendolo di Foucault (L = 67 m sulla Terra, 3°):
Stesso pendolo di un metro sulla Luna (g = 1,62):
La lunghezza è misurata al centro di massa, non al punto di attacco. Per un peso consistente su una corda sottile, la differenza è piccola. Per un righello di legno che oscilla su un perno (un "pendolo fisico"), la lunghezza pertinente è L_cm — la distanza dal centro di massa — e la formula necessita del raggio di inerzia. Utilizzare la variante del pendolo fisico.
Resistenza dell'aria e massa della corda. Il pendolo semplice assume assenza di resistenza dell'aria, massa trascurabile della corda, assenza di flessioni. I pendoli reali si smorzano; il periodo aumenta di circa lo 0,1% per ogni percentuale di perdita di energia per oscillazione (piccola in pratica per un peso consistente).
Temperatura e lunghezza. Le aste metalliche dei pendoli si espandono con la temperatura. Per un orologio di precisione, un cambiamento di temperatura di 1 °C corrisponde a una variazione di lunghezza relativa di 1,2 × 10⁻⁵, o circa 0,5 s al giorno. I pendoli compensati (Riefler, Invar) riducono questo effetto.
Il valore locale di g varia. A livello del mare, g è 9,81 m/s² ± 0,05 a seconda della latitudine (9,78 all'equatore, 9,83 ai poli). L'altitudine riduce ulteriormente g di circa 3 × 10⁻⁶ per metro. I vecchi orologi a pendolo erano calibrati per la gravità locale; spostarli cambiava il loro ritmo.
Rottura dell'isocronismo per grandi ampiezze. L'"isocronismo" del pendolo (stesso periodo indipendentemente dall'ampiezza) è valido solo per piccoli angoli. A partire da 30°+ di ampiezza, il periodo cambia in modo misurabile con l'ampiezza — i primi orologiai lottarono con questo, portando Huygens a inventare la guancia epicicloidale per imporre geometricamente l'isocronismo.
Pendolo forzato. Un pendolo mantenuto in oscillazione da uno scappamento non è più un oscillatore libero — il periodo dipende dal meccanismo di impulso. I pendoli degli orologi reali tengono il tempo meglio dei pendoli liberi perché lo scappamento li blocca nuovamente.
Pendoli accoppiati. Due pendoli di periodo simile montati sullo stesso supporto flessibile scambiano energia e vanno e vengono in fase (la "simpatia degli orologi" di Huygens). Il modello semplice non vale per sistemi accoppiati.
Pendolo invertito. Il pendolo appeso verso l'alto da un perno ha un periodo immaginario — è instabile. Stabilizzarlo (Segway, razzo, bilanciamento robotico) è un classico problema di teoria del controllo.
Smorzamento. I pendoli reali perdono energia per attrito; la formula per piccoli angoli assume assenza di smorzamento. Con lo smorzamento, le oscillazioni decadono esponenzialmente; il periodo cambia di meno dell'1% finché lo smorzamento non è severo.