Gittata, altezza massima, tempo di volo, velocità e angolo d'impatto, con traiettoria SVG completa.
Modello sottovuoto: ignora la resistenza dell'aria, l'effetto Magnus e Coriolis. La gittata è massimizzata a 45° su terreno pianeggiante; con un'altezza di lancio non nulla, l'angolo ottimale è inferiore a 45°.
Il moto dei proiettili è l'introduzione canonica alla cinematica bidimensionale in ogni corso di fisica introduttiva: un corpo lanciato con un angolo in un campo gravitazionale uniforme, ignorando l'attrito dell'aria. La matematica è elegante: la traiettoria è una parabola, la gittata è massimizzata a 45° su terreno pianeggiante e il tempo di volo è puramente geometrico. Al di là delle lezioni di fisica, le stesse equazioni sono alla base della progettazione delle fontane, della biomeccanica del tiro a canestro, della balistica, della pianificazione degli spettacoli pirotecnici e della traiettoria di un frisbee lanciato. Questo calcolatore risolve il problema completo (gittata, altezza massima, tempo di volo, velocità d'impatto, angolo d'impatto), disegna la traiettoria parabolica con una risoluzione di 80 punti con marcatori di picco e impatto, e supporta un'altezza di lancio arbitraria, utile per modellare lanci da un bordo di scogliera o tiri a canestro in cui la palla non parte dal livello del suolo.
La velocità iniziale viene scomposta in componenti orizzontale e verticale: vₓ = v₀ · cos θ; vᵧ = v₀ · sin θ.
Tempo al picco = vᵧ / g (la velocità verticale decade linearmente sotto l'effetto della gravità).
Altezza del picco sopra il punto di lancio = vᵧ² / (2 · g). Con altezza di lancio h₀: altezza_totale = h₀ + vᵧ² / (2g).
Tempo di volo (finché il proiettile atterra a y = 0): risolvere h₀ + vᵧ · t − ½ · g · t² = 0:
t_volo = (vᵧ + √(vᵧ² + 2 · g · h₀)) / g
Gittata = vₓ · t_volo.
Componenti della velocità d'impatto: vᵢₓ = vₓ (nessun attrito orizzontale nel vuoto); vᵢᵧ = vᵧ − g · t_volo.
Velocità d'impatto = √(vᵢₓ² + vᵢᵧ²).
Angolo d'impatto sotto l'orizzontale = atan(|vᵢᵧ| / vᵢₓ).
Il grafico campiona la traiettoria in 80 punti utilizzando y(t) = h₀ + vᵧ · t − ½ · g · t², traccia la parabola in rosso e contrassegna il picco (cima dell'arco) e l'impatto (estremità destra). Il riempimento dell'asse Y aggiunge il 10% sopra il picco e il 5% a destra dell'impatto per chiarezza visiva.
Inserire la velocità iniziale in m/s (tipicamente 10–50 per oggetti lanciati, 200+ per proiettili sparati). Inserire l'angolo di lancio in gradi rispetto all'orizzontale (0 = puramente orizzontale, 90 = dritto verso l'alto). Inserire l'altezza di lancio dal suolo in metri (0 per lanci a livello del suolo). Inserire la gravità (predefinita 9,81 m/s² sulla Terra; usare 1,62 per la Luna, 3,71 per Marte). Il pannello dei risultati mostra gittata, altezza massima, tempo di volo, tempo al picco, velocità d'impatto e angolo d'impatto, oltre alla curva della traiettoria.
Una palla da baseball lanciata a 25 m/s con un angolo di 45° da un'altezza di lancio di 1,5 m sulla Terra:
Un getto d'acqua di una fontana a 8 m/s, 70°:
Un tiro a canestro da un'altezza di 2,0 m a 8 m/s, 50°: - vₓ = 5,14 m/s. vᵧ = 6,13 m/s. Tempo di volo: 1,54 s. Gittata: 7,94 m.
L'attrito dell'aria conta oltre ~ 30 m/s. Il modello del vuoto sovrastima la gittata del 5 % a 50 m/s, del 30 % a 200 m/s, di un ordine di grandezza a 800 m/s. La balistica reale necessita di un modello di attrito.
Vento. Il vento laterale sposta l'impatto orizzontalmente; il vento frontale o contrario accorcia o estende la gittata. Non modellato.
Rotazione ed effetto Magnus. Una palla che ruota curva a causa della forza di Magnus; una palla da tennis con topspin cade più velocemente di una piatta. Non modellato.
Forza di Coriolis a lunghe gittate. La rotazione terrestre devia i proiettili in modo misurabile oltre ~ 1 km di gittata. Trascurabile negli sport, critica per l'artiglieria.
L'altezza di lancio influisce sull'angolo ottimale. La regola dei 45° è per il lancio dal livello del suolo. Con h₀ > 0, l'angolo ottimale per la massima gittata è inferiore a 45° (approssimativamente 45° − arctan(h₀ / stima_gittata) / 2). Il calcolatore consente di inserire entrambi e di variare l'angolo per trovare l'ottimale.
Gravità variabile. g varia dello 0,5 % tra l'equatore e il polo, e in base all'altitudine. Per problemi quotidiani, g = 9,81 va bene.
Dipendenza dalla forma aerodinamica. Un giavellotto e un peso si comportano in modo molto diverso a causa dell'attrito e della portanza. Il calcolatore tratta tutti i proiettili come sferici-senza-attrito.
Curvatura terrestre. Per gittate superiori a ~ 30 km, la Terra curva verso il basso sotto il proiettile, estendendo la gittata effettiva. Trascurabile su scala sportiva.
Convenzioni angolari. Il calcolatore utilizza i gradi rispetto all'orizzontale. Alcuni testi usano i gradi rispetto alla verticale (angolo zenitale); convertire se necessario.
Altezze di lancio negative. Il calcolatore supporta h₀ ≥ 0 (sopra il suolo). Lanci sottoterra (una palla lanciata in una buca) richiedono l'estensione della formula.
Energia all'impatto. Energia cinetica all'impatto = ½ · m · v_impatto² — utile per dimensionare i danni all'atterraggio. Il calcolatore non calcola l'energia (massa non inserita).