Distância do círculo máximo, rumo, ponto médio e tempo de voo entre duas coordenadas.
Aproximação de Terra esférica (raio médio 6371 km). Preciso em ~0,5 % em relação ao elipsoide WGS-84 para distâncias interurbanas típicas. A direção é o curso verdadeiro inicial; em um círculo máximo, a direção muda continuamente ao longo da rota.
Calcular a distância de círculo máximo entre dois pontos na Terra a partir de sua latitude e longitude é o problema fundamental de distância geográfica. A abordagem pitagórica ingênua (raiz quadrada de latitude ao quadrado + longitude ao quadrado) está errada porque a Terra é uma esfera — um grau de longitude perto dos polos é muito menor do que perto do equador. A fórmula haversine fornece a distância exata do círculo máximo em uma esfera, com precisão de até 0,5% em todas as latitudes (o pequeno erro vem do fato de a Terra ser um esferoide ligeiramente oblato, não uma esfera perfeita). Esta calculadora computa a distância do círculo máximo entre duas cidades, mais o rumo inicial (direção da bússola no início), as coordenadas do ponto médio e um tempo estimado de voo de avião comercial a 900 km/h de cruzeiro.
A fórmula haversine:
a = sin²(Δφ / 2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ / 2)
c = 2 · atan2(√a, √(1 − a))
d = R · c
onde φ é a latitude, λ é a longitude (ambos em radianos), Δφ = φ₂ − φ₁, Δλ = λ₂ − λ₁, e R é o raio médio da Terra (6 371 km).
Rumo inicial:
y = sin Δλ · cos φ₂
x = cos φ₁ · sin φ₂ − sin φ₁ · cos φ₂ · cos Δλ
θ = atan2(y, x), normalizado para [0, 360)
Ponto médio (ao longo do círculo máximo):
Bx = cos φ₂ · cos Δλ
By = cos φ₂ · sin Δλ
φm = atan2(sin φ₁ + sin φ₂, √((cos φ₁ + Bx)² + By²))
λm = λ₁ + atan2(By, cos φ₁ + Bx)
Tempo de voo a 900 km/h: distância / 900 horas; renderizado como h:m:s.
O gráfico mostra os dois pontos e a linha do círculo máximo em um mapa mundial estilo Mercator (ou uma barra de referência em escala logarítmica comparando a distância com distâncias de referência canônicas: quarteirão, maratona, Paris-Nice, travessia do Atlântico).
Insira a latitude e longitude de início (graus decimais, norte / leste positivo, sul / oeste negativo). Insira a latitude e longitude de destino. O painel de resultados mostra a distância do círculo máximo em km e milhas, o rumo inicial em graus, as coordenadas do ponto médio e o tempo estimado de voo em cruzeiro.
Paris (48,8566 N, 2,3522 E) para Nova York (40,7128 N, −74,0060 W):
Tóquio (35,6762 N, 139,6503 E) para Sydney (−33,8688 S, 151,2093 E):
Mesmo hemisfério, curta distância: Paris (48,8566 N, 2,3522 E) para Londres (51,5074 N, −0,1278 W):
A Terra não é uma esfera — é um esferoide oblato. Raio equatorial 6 378 km, polar 6 357 km. A haversine usando raio médio 6 371 km é boa para ~ 0,5%. Para melhor precisão, use as fórmulas de Vincenty ou o modelo de elipsoide WGS-84.
Convenção de sinais. Graus decimais, N/L positivo, S/O negativo. Erros aqui invertem os resultados para o antípoda.
Caso extremo de ponto antípoda. Quando dois pontos são quase antipodais, a haversine tem instabilidade numérica. O cálculo usa atan2, que é robusto, mas casos extremos perdem precisão.
Círculo máximo vs linha rhumb. O círculo máximo é o caminho esférico mais curto; a linha rhumb é o caminho de rumo constante usado na navegação. Eles diferem — o círculo máximo curva em direção ao polo. A aviação usa círculo máximo; a navegação de pequenas embarcações frequentemente usa linha rhumb por simplicidade.
Rumo inicial vs final. O rumo muda ao longo do círculo máximo. O cálculo fornece o rumo inicial no ponto de partida. O rumo no destino ("rumo final") é geralmente diferente.
Definição de ponto médio. O cálculo computa o ponto médio do círculo máximo. Existem pontos médios alternativos (ponto médio da linha rhumb, ponto médio do arco geodésico no elipsoide).
Estimativa de tempo de voo. 900 km/h é um cruzeiro típico de jato comercial. Voos reais adicionam ~ 30 minutos para táxi + decolagem + pouso + atrasos na aproximação. O número é distância em linha reta / velocidade de cruzeiro — um limite inferior.
Curvatura do norte magnético vs geográfico. Os rumos são geográficos (verdadeiros). Para navegação por bússola magnética, subtraia a declinação magnética local (tipicamente ± 10° em latitudes médias).
Curvatura em 3D. O cálculo fornece a distância do círculo máximo em 2D na superfície. Para aeronaves que cruzam a ~ 11 km de altitude, a distância 3D real é pouco diferente (< 0,2%), mas para cálculos de satélite importa.
Incompatibilidade de datum. Lat/lon assume o datum WGS-84 (o padrão moderno). Datums mais antigos como NAD-27 ou locais deslocam as coordenadas em dezenas de metros; geralmente bom para uso casual, problemático para agrimensura.
Cruzamento do antimeridiano. Um caminho de 170° L para −175° O (= 185° L) é 15° para oeste, não 345° para leste. O cálculo lida com isso corretamente porque usa cos/sin/atan2 que se agrupam naturalmente; verifique com um caso conhecido.